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考察知识点: 坐标变换、递归、分治。
核心问题:计算出点的坐标。
策略是递归算出子图形中的坐标,再进行平移得到当前图形中的坐标。
采用下图方式建立坐标系:原点在中心。
前置知识:
( x , y ) (x,y) (x,y) 逆时针旋转 θ \theta θ 角度,坐标为 ( x cos θ − y sin θ , x sin θ − y cos θ ) (x\cos\theta-y\sin\theta,x\sin\theta-y\cos\theta) (xcosθ−ysinθ,xsinθ−ycosθ) 。
设 n n n 为等级, m m m 为在等级为 n n n 时的编号。
单 位 长 度 = 2 n 单位长度=2^{n} 单位长度=2n 。
l e n = 单 位 长 度 2 = 2 n − 1 len = \frac{单位长度}{2} = 2^{n-1} len=2单位长度=2n−1 。
m = 4 n = 2 2 n m=4^{n}=2^{2n} m=4n=22n 。
等级 2 2 2 的 0 0 0 号图形是由等级 1 1 1 的图形顺时针旋转 90 ° 90° 90° ,再进行 y y y 轴轴对称得到。
假设在等级 1 1 1 中的坐标为 ( x , y ) (x,y) (x,y) ,旋转后为 ( y , − x ) (y,-x) (y,−x) ,再进行关于 y y y 轴的轴对称得到 ( − y , − x ) (-y,-x) (−y,−x) 。
同理可以得到如下表格:
原始坐标 | 图形0中坐标 | 图形1中坐标 | 图形2中坐标 | 图形3中坐标 |
---|---|---|---|---|
( x , y ) (x,y) (x,y) | ( − y , − x ) (-y,-x) (−y,−x) | ( x , y ) (x,y) (x,y) | ( x , y ) (x,y) (x,y) | ( y , x ) (y,x) (y,x) |
因为等级 1 1 1 的原点和等级 2 2 2 的原点不重合,所以需要将原点进行平移。
原点平移后得到最终坐标如下:
原始坐标 | 图形0 | 图形1 | 图形2 | 图形3 |
---|---|---|---|---|
$(x,y) $ | ( − y − l e n , − x + l e n ) (-y-len,-x+len) (−y−len,−x+len) | ( x + l e n , y + l e n ) (x+len,y+len) (x+len,y+len) | ( x + l e n , y − l e n ) (x+len,y-len) (x+len,y−len) | ( y − l e n , x − l e n ) (y-len,x-len) (y−len,x−len) |
我们的编号从 0 0 0 开始,计算坐标注意减一。
时间复杂度: O ( n ) O(n) O(n)
代码
// #pragma GCC optimize(3)
#include <set>
#include <map>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <queue>
#include <deque>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <bitset>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <algorithm>
// #include <unordered_set>
// #include <unordered_map>
#define endl '\n'
#define x first
#define y second
#define fi first
#define se second
#define PI acos(-1)
// #define PI 3.1415926
#define LL long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define lowbit(x) (-x&x)
#define ULL unsigned LL
#define PLL pair<LL, LL>
#define PIL pair<int, LL>
#define PII pair<int, int>
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof a)
#define rev(x) reverse(x.begin(), x.end())
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
using namespace std;
LL n, a, b;
PLL calc(LL n, LL m) {
if (n == 0) return {0, 0};
LL len = 1ll << (n - 1), cnt = 1ll << (2 * n - 2);
PLL pos = calc(n - 1, m % cnt);
LL x = pos.x, y = pos.y;
int z = m / cnt;
if (z == 0) {
return {-y - len, -x + len};
} else if (z == 1) {
return {x + len, y + len};
} else if (z == 2) {
return {x + len, y - len};
}
return {y - len, x - len};
}
void solve() {
int tt;
cin >> tt;
while (tt -- ) {
cin >> n >> a >> b;
PLL ac = calc(n, a - 1), bc = calc(n, b - 1);
double dx = ac.x - bc.x, dy = ac.y - bc.y;
printf("%.0lf\n", sqrt(dx * dx + dy * dy) * 5);
}
}
int main() {
IOS;
solve();
return 0;
}