编译原理笔记6：从正规式到词法分析器（3）：DFA最小化、词法分析器的构造、Lex 使用示例

news2024/11/20 8:29:43

从 DFA 到最小 DFA

关于星闭包的补充：一个语言被认为是所有可能字的子集。所有可能字的集合可以被认为是所有可能的字符串串接的集合。

DFA 最小化的过程，就是通过某些等效转换减少原 DFA 状态数的过程——这里的“等效转换”，就是对多余的状态进行合并。

那，什么叫多余？这里的多余，指的是对于同样的输入会得到同样的结果——比如在上面NFA转DFA的例子中，我们观察得到的DFA，发现其中的A、C状态对于字母表中任意的输入，都会给出相同的结果。那么这个A和C对任意输入而言就是等效的，它们两个就可以互相替代，我们也就可以把它们合并成一个状态。

将DFA最小化需要去除多余状态，所以如何最小化DFA的问题就转化为了如何找出“多余状态”的问题。我们需要一个方法来帮助我们判断某个状态是否是多余的。这里引入“等价”、“可区分”、“划分”的概念。

等价

定义：设 p、q ∈ S，对于任一输入序列 w∈Σ*，有 move(p, w)∈F 且 move(q, w)∈F，则称状态 p 和 q 等价。否则称 p、q 是可区分的，也就是存在 x∈Σ*，使得move(p, x) 和 move(q, x) 不能同时进入终态。

可区分

对于DFA中的任意两个状态t、s，若从其中一个状态出发能够接受输入字符串 ω，而从另一个状态出发却不能接受 ω，则称 ω区分状态t和s。如果存在某个能够区分状态 t 和 s 的串，那么状态 t 和 s 就是可区分的。

因此，如果我们找到这样一对 t 和 s ，对于从它们两个状态分别出发的任何的输入序列 ω，都能够最终到达相同的结果，那么 t 和 s 就可以合并成一个状态。

因此，最小化 DFA 的本质，就是将 DFA 中的状态分成不同的组，使得同一个组中的状态之间不可区分（也就是等价的），而不同组的状态之间可区分（也就是不等价）。当我们把每个组内的状态都合并成为一个状态后，我们就能够得到一个最小 DFA 了

（其实就是把DFA中的各个状态划分成几个等价类，然后把等价类内的状态进行合并。这样最终得到的最小DFA的状态数就是之前我们划分的等价类数。每一个等价类对应最小DFA中的一个状态）

划分

给定一个DFA，我们可以确定：

DFA 的终态和非终态是可区分的；（使用 ε 即可区分终态和非终态。因为 DFA 中不存在 ε 转移。DFA 中的任意状态经过 ε 都不会发生改变）
若分别从 s 和 t 出发，沿着标记为 x 的路径到达的两个状态p、q是可区分的，那么 s 和 t 也是可区分的。
这里的 p、q 是我们已知可区分的——因为对于 p、q，如果有相同的输入序列 y 使得他们分别到达终态和非终态，那么 p、q 就是可区分的了。一旦 p、q 可区分，则 s、t 经过输入序列 xy 就能够分别到达 f、g ，也就随之满足可区分的定义了

在这里插入图片描述

算法：最小化 DFA 的状态数（DFA化简）

输入：DFA D = {S, Σ, move, s0, F }

输出：等价的 D’ = {S’, Σ, move’, s0’, F’ }（D’ 的状态数最少）

主要步骤：

进行初始化分，获得终态和非终态；
利用“可区分”的概念，反复分裂划分中的组 Gi，直到不可再分裂；
由最终划分构造 D’，关键是用等价的概念对一些状态进行合并，选出新的代表状态并修改状态转移；
消除可能的死状态的不可达状态。

化简的基本思路，其实就是把原来的状态集按照等价关系进行划分（划分后的子集互不相交），同一子集内元素等价，不同子集元素可区分。将每一个子集中的状态合并成一个状态，就可以得到一个新的状态集 Snew，原初态s0所在子集就成为化简后状态机 Dnew 的新初态 s0new ，原终态所在子集就成为化简后的 Dnew 的一个新终态。

下面用这个算法来化简我们前面的 DFA

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