【动态规划】爬楼梯爬的不仅仅是楼梯

news2024/12/23 23:43:25

深度思考爬楼梯问题，抽取一般过程，目标是对其变式题也能认出并且求解

一、题目描述

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/description/

示例：

在这里插入图片描述

二、动态规划过程详解

思考一：为什么可以动态规划？

动态规划是指大规模问题，可以由它的小规模问题通过动态规划方程解出，而对本题来说，到达第 i 阶台阶的方案数可以由到达第 i-1 和第 i-2的方案数求出，动态规划方程为：

dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

解释：

上述动态规划方程中，dp 表示到达第 i 阶台阶的方案数，可以由第 i-1 阶台阶走一步到达第 i 阶台阶，也可由第 i-2 阶台阶走两步到达第 i 阶台阶，所以可写出如上的动态规划方程。

思考二： 如何初始化

dp[1] = 1;
dp[2] = 2;

解释：

由状态转移方程决定了初始化的值为 dp[1] 和 dp[2] （dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]）

从第 0 台台阶迈一步到达第 1 阶台阶，因此到达第 1 阶台阶的方案有 1 个，同理，得到 dp[2] (由第 1 阶台阶迈一步和由第 0 阶台阶迈两步)

三、代码

class Solution {
     // 爬楼梯
    public int climbStairs(int n) {
        if(n == 1){
            return 1;
        } else if(n == 2){
            return 2;
        }
        int dp[] = new int[n+1];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for(int i=3; i<n+1; i++){
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
}

四、看变式 —— 统计构造好字符串的方案数

给你整数 zero ，one ，low 和 high ，我们从空字符串开始构造一个字符串，每一步执行下面操作中的一种：

将 ‘0’ 在字符串末尾添加 zero 次。
将 ‘1’ 在字符串末尾添加 one 次。

以上操作可以执行任意次。

如果通过以上过程得到一个长度在 low 和 high 之间（包含上下边界）的字符串，那么这个字符串我们称为好字符串。

https://leetcode.cn/problems/count-ways-to-build-good-strings/description/

在这里插入图片描述

思路：

让我们来看一下，本题和爬楼梯的区别和联系

返回值上：它们都是求方案数，爬楼梯是求到某个值的方案数，而本题是求到某个范围的方案数，那么爬楼梯只需要返回 dp[n]，本题返回 dp[low] + dp[low+1] + … + dp[high] 。
状态转移方程上：

dp[i] = dp[i - zero] + dp[i - one];

代码：

    // 2466. 统计构造好字符串的方案数
    public int countGoodStrings(int low, int high, int zero, int one) {
        int mod = (int)(1e9 + 7);
        int[] dp = new int[high + 1];
        // 初始化
        int step1 = Math.min(zero, one);
        int step2 = Math.max(zero, one);
        dp[step1] = 1;
        dp[step2] = step2%step1==0 ? 2 : 1; // 走到 step2 的可能方案（直接走到step2、每次蹦跶step1直到蹦跶到step2）

        // 遍历
        for(int i=step1+1; i<=high; i++){
            if(i > step2) { // 可以由 i - step1 和 i - step2 到达
                dp[i] = (dp[i - step1] + dp[i - step2]) % mod;
            } else if(i < step2){  // 只可以由 i - step1 到达
                dp[i] = dp[i - step1];
            }
        }
        int res = 0;
        for(int i=low; i<=high; i++){ // 计算结果，在 low ~ high 之间的方案数
            res = (res + dp[i]) % mod;
        }
        return res;
    }