一、说明
在研究双曲空间的时候，不能不遇到双曲面的问题。双曲几何在什么样的双曲面建立？其它几何元素在双曲面的表现。庞加莱盘不是双曲几何的一部分，而是一个投影平面，自然语言处理中，图网络不是卷积神经网络。本篇从双曲方程开始，展开双曲空间的探讨。
二、双曲面总论
2.1 特征和属性
双曲面是一种曲面，其定义为与一个双曲面生成元 H（平面曲线）相交的所有切面均为双曲线。双曲面具有以下性质：
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双曲面是一个二次曲面，可以用二次方程描述。
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双曲面可以分为两类：单叶双曲面和双叶双曲面。单叶双曲面只有一个曲面，而双叶双曲面有两个对称的曲面。
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双曲面的曲率比较复杂，在不同点处的曲率大小和方向都不同。它的曲率中心在参数平面上是一个双重点，对应着双曲线的两个焦点。
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双曲面的切向量和法向量在不同点处都有不同的方向。在单叶双曲面上，切向量、法向量和曲面上的任意一点的位置向量共面；在双叶双曲面上，切向量、法向量和曲面上的任意一点的位置向量不共面。
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双曲面具有对称性，其中包括轴对称、中心对称和面对称。这些对称性在解决一些几何问题时非常有用。
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双曲面是一种非欧几何，与欧几里得几何和椭圆几何不同。因此，它的性质与欧几里得几何和椭圆几何有很大的区别。
2.2 单页曲面
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