1. 背景

在做图像感知工作过程中会遇到需要处理相机畸变的情况，如SLAM、3D重建等，则需要了解一些常见相机模型的成像过程，以及依据成像过程实现去除相机成像的畸变。

注意：这篇文章并不涉及太多相机参数畸变原理，更多侧重在使用对应相机模型如何实现图像去畸变。

2. pinhole相机模型

针孔模型是较为经典的模型，它的畸变建模比较简单，一般使用两种畸变参数：径向畸变（radial distortion）和切向畸变（tangential distortion）。当然在一些资料中还存在棱镜畸变（prism distortion），只是这个畸变参数不经常使用。这里对于径向畸变使用 $[k_1,k_2,\dots,k_n]$ 表示，其中 $n$ 是畸变的阶数（下同），切向畸变使用 $p_1,p_2]$ ，棱镜畸变使用 $s_1,s_2,s_3,s_4]$ 表示。

则对于针孔相机下的去畸变可以描述为如下计算过程：
在这里插入图片描述
ref：

opencv文档——Camera Calibration and 3D Reconstruction

pinhole模型畸变去除参考代码：

def undistort_pinhole_image(image_data:np.array, cam_I:np.array, cam_D:np.array, desire_cam_I:np.array):
    H, W = image_data.shape[:2]
    # get camera infos
    fx, fy, cx, cy = cam_I[0, 0], cam_I[1, 1], cam_I[0, 2], cam_I[1, 2]
    k1, k2, p1, p2, k3 = cam_D[:5]
    # get new camera world points
    x, y = np.meshgrid(np.arange(W), np.arange(H))
    x = (x.reshape((-1, 1)) - desire_cam_I[0, 2]) / desire_cam_I[0, 0]
    y = (y.reshape((-1, 1)) - desire_cam_I[1, 2]) / desire_cam_I[1, 1]
    z = np.ones_like(x)
    # normalize
    x = x / z
    y = y / z
    xx = x * x
    yy = y * y
    xy = x * y
    rr = xx + yy
    # Radial distortion 径向畸变
    rd_x = x * (1. + k1*rr + k2*rr*rr + k3*rr*rr*rr)
    rd_y = y * (1. + k1*rr + k2*rr*rr + k3*rr*rr*rr)
    # tangential distortion 切向畸变
    td_x = 2 * p1 * xy + p2 * (rr + 2 * xx)
    td_y = 2 * p2 * xy + p1 * (rr + 2 * yy)
    # rectified points
    r_x = rd_x + td_x
    r_y = rd_y + td_y
    # map to distored image
    map_u = (r_x * fx + cx).reshape((H, W)).astype(np.float32)
    map_v = (r_y * fy + cy).reshape((H, W)).astype(np.float32)
    img_undistored = cv2.remap(image_data, map_u, map_v, cv2.INTER_CUBIC)

    return img_undistored

2. omni-directional相机模型

全向相机是将点投影到单位球，之后再进行畸变矫正的过程，这里会使用 $\xi$ 进行单位球转换。对于其去畸变的过程参考代码如下：

def undistort_omni_image(image_data:np.array, cam_I:np.array, cam_D:np.array, desire_cam_I:np.array):
    H, W = image_data.shape[:2]
    # get camera infos
    fx, fy, cx, cy, xi = cam_I[0, 0], cam_I[1, 1], cam_I[0, 2], cam_I[1, 2], cam_I[0, 1]
    k1, k2, p1, p2 = cam_D[:4]
    # get new camera world points
    x, y = np.meshgrid(np.arange(W), np.arange(H))
    x = (x.reshape((-1, 1)) - desire_cam_I[0, 2]) / desire_cam_I[0, 0]
    y = (y.reshape((-1, 1)) - desire_cam_I[1, 2]) / desire_cam_I[1, 1]
    z = np.ones_like(x)
    # normalize
    rz = z + xi * np.sqrt(x*x + y*y + z*z)
    x = x / rz
    y = y / rz
    xx = x * x
    yy = y * y
    xy = x * y
    rr = xx + yy
    # Radial distortion 径向畸变
    rd_x = x * (1. + k1*rr + k2*rr*rr)
    rd_y = y * (1. + k1*rr + k2*rr*rr)
    # tangential distortion 切向畸变
    td_x = 2 * p1 * xy + p2 * (rr + 2 * xx)
    td_y = 2 * p2 * xy + p1 * (rr + 2 * yy)
    # rectified points
    r_x = rd_x + td_x
    r_y = rd_y + td_y
    # map to distored image
    map_u = (r_x * fx + cx).reshape((H, W)).astype(np.float32)
    map_v = (r_y * fy + cy).reshape((H, W)).astype(np.float32)
    img_undistored = cv2.remap(image_data, map_u, map_v, cv2.INTER_CUBIC)

    return img_undistored

ref：

Omnidirectional Camera Calibration
cv::omnidir::projectPoints()

3. Kannala Brandt相机模型

在该相机模型中引入射光线与主轴的夹角用于描述成像畸变，也就是偏离主轴越远畸变的程度越大，因而使用畸变参数 $k_1,k_2,k_3,k_4]$ 与入射光线主轴夹角 $\theta$ 便可使用上述几个变量完成鱼眼相机去畸变，其去畸变的流程如下：

在这里插入图片描述
ref：

Fisheye camera model

畸变去除参考代码：

def undistort_kb_image(image_data:np.array, cam_I:np.array, cam_D:np.array, desire_cam_I:np.array):
    H, W = image_data.shape[:2]
       
    fx, fy, cx, cy = cam_I[0, 0], cam_I[1, 1], cam_I[0, 2], cam_I[1, 2]
    k1, k2, k3, k4 = cam_D[:4]
    x, y = np.meshgrid(np.arange(W), np.arange(H))
    x = (x.reshape((-1, 1)) - desire_cam_I[0, 2]) / desire_cam_I[0, 0]
    y = (y.reshape((-1, 1)) - desire_cam_I[1, 2]) / desire_cam_I[1, 1]
    z = np.ones_like(x)
    # normalize
    x /= z
    y /= z
    rr = x*x + y*y
    theta = np.arctan(np.sqrt(rr))
    theta_d = theta * (1 + k1*theta*theta + k2*theta*theta*theta*theta +\
                       k3*theta*theta*theta*theta*theta*theta*theta*theta + \
                        k4*theta*theta*theta*theta*theta*theta*theta*theta*theta*theta)
    t_x = (theta_d/(np.sqrt(rr)+1.e-6)) * x
    t_y = (theta_d/(np.sqrt(rr)+1.e-6)) * y
    # map to distored image
    map_u = (t_x * fx + cx).reshape((H, W)).astype(np.float32)
    map_v = (t_y * fy + cy).reshape((H, W)).astype(np.float32)
    img_undistored = cv2.remap(image_data, map_u, map_v, cv2.INTER_CUBIC)

	return img_undistored