3D Transformations(三维变换)

延续上节课的内容：
使用齐次坐标进行表示三维的点或者向量：

• 3D point = $(x,y,z{)}^T$
• 3D vector = $(x,y,z{)}^T$

新的内容：
在三维空间中，分别绕$x$，$y$, $z$轴旋转操作：

${\mathbf{R}}_x(\alpha )=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ 0& \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

${\mathbf{R}}_y(\alpha )=\left(\begin{array}{cccc}\cos \alpha & 0& \sin \alpha & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -\sin \alpha & 0& \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

${\mathbf{R}}_z(\alpha )=\left(\begin{array}{cccc}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0& 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0& 0\\ 0& \sin \alpha & 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

任意的三维的旋转都可以写成分别绕$x$轴，绕$y$轴，绕$z$轴的组合：
${\mathbf{R}}_{xyz}(\alpha ,\beta ,\gamma )={\mathbf{R}}_x(\alpha ){\mathbf{R}}_y(\beta ){\mathbf{R}}_z(\gamma )$

这三个角又被称为欧拉角(Euler angles)。
常用于飞行模拟器:滚转，俯仰，偏航。

罗德里格旋转公式(Rodrigues’ Rotation Formula):

绕旋转轴$\vec{n}$旋转角度$\alpha$，默认轴的起点在原点上。

$\mathbf{R}(\mathbf{n},\alpha )=\cos (\alpha )\mathbf{I}+(1-\cos (\alpha ))\mathbf{n}{\mathbf{n}}^T+\sin (\alpha )\underset{\mathbf{N}}{\underbrace{\left(\begin{array}{ccc}0& -n_z& n_y\\ n_z& 0& -n_x\\ -n_y& n_x& 0\end{array}\right)}}$

Viewing transformation(观测变换)

View/Camera Transformation(视图变换)

What is view transformation(什么是视图变换)？

思考一下，如何拍一张照片？

• 找到一个合适的位置然后摆一个Pos(model transformation)，这一步是模型变换
• 找一个好的角度来摆放相加(view transformation)，这一步就是视图变换。
• 拍照，这一步是投影变换。

模型、视图、投影变换，简称MVP变换。

How to perform view transformation?(如何进行视图变换呢？)

首先，要确定相机，主要有三个参数：

• 位置：$\vec{e}$
• 视线方向：$\hat{g}$
• 向上的方向：$\hat{t}$

当相机和物体同步移动时，拍出来的照片完全相同。

所以，我们通常将相机位置进行固定：

• 相机位于原点，向上的方向是$y$轴，视线方向是$-z$方向。
• 并且将其它物体随着相机移动。

需要进行的改变：

• 将$\vec{e}$移动到原点。
• 将$\vec{g}$旋转到$-\vec{Z}$。
• 将$\vec{t}$旋转到$Y$。
• 将$(\vec{g}\times \vec{t})$旋转到$X$。

先考虑平移，再考虑旋转：

1. 首先，移动到原点：

   c

2. 旋转：
   直接旋转的变换矩阵不好写，但是反过来考虑很好写，所以我们可以先将逆矩阵写出来，再求一次逆就可以得到变换矩阵了。
   
   因为旋转矩阵是正交矩阵，所以直接求转置就可以得到逆矩阵了。

最终的变换矩阵就可以得到了：
$M_{view}=R_{view}{T}_{view}$

Projection Transformation(投影变换)

计算机图形学中的投影：

• 3D to 2D
• 正交投影
• 透视投影

这两种投影的本质区别就是是否具有近大远小的特征。

Orthographic Projection(正交投影)

一种简单的理解方式：

• 将相机摆放在原点，朝$-Z$方向看，向上方向为$Y$。
• 扔掉$Z$坐标。
• 将结果矩阵平移和缩放到$[-1,1{]}^2$中。

一种正式一点的做法：
我们希望将一个立方体$[l,r]\times [b,t]\times [f,n]$映射到一个标准的立方体上去$[-1,1{]}^3$。

变换矩阵

首先，将中心移动到原点，再进行缩放将宽度变为2。

Perspective Projection(透视投影)

在计算机图形学、艺术、视觉系统中最常见的投影。
近大远小。
平行线将不在平行，收敛到一点。

如何进行透视投影呢？

1. 先挤成一个长方体；
2. 再对长方体做一次正交投影。

第一步的过程可以使用一个变换矩阵来描述：$M_{persp->ortho}$;
第二步再使用一个正交投影变换矩阵来进行变换：$M_{ortho}$;

根据相似三角形，容易得到$y\prime =\frac{n}{z}y$，$x\prime =\frac{n}{z}x$；

在齐次坐标下：

通过，已知的三个信息，我们可以推出变换矩阵的部分信息：

两个重要条件：

1. 近平面上的任何点坐标不会发生任何变化。
2. 远平面的点的$z$坐标不会发生任何变化。

因此，变换矩阵的第三行一定是$(0,0,A,B)$的形式。

$(0,0,f)$这个点经过挤压后，仍然位于$(0,0,f)$。
因此，可以得到如下方程：

通过两个方程，就可以得到$A$和$B$的值：

综上，变换矩阵$M_{persp->ortho}$就得到了。

参考资源

GAMES101 Lecture 04