注：//之后的都是注释，不是过程。
一、求常系数线性齐次微分方程的通解
1.一般形式：y''+py'+qy=0。
2.齐次：“齐次”的含义就是次数相等，y''+py'+qy=0都是一次幂，所以是齐次线性微分方程，如果说加上一个常数c，变为y''+py'+qy+c=0，那么这个c是可以看作cy⁰，y的零次幂，就不是齐次微分方程了。
3.特征方程：有几阶导就看作几次幂。
例1：求y'=y的通解。
解：特征方程为r-1=0
∴r1=1
∴通解y=e^x例子2：求y''-2y'-3y=0的通解。
解：特征方程为r^2-2r-3=0
//十字相乘法：1 -3
//1 1
∴r1=3，r2=-1
∴通解为：y=C1e^3x+C2e^-x例子3：求y''-2y'+5y=0的通解。
//求根公式：-b±√b^-4ac/2a
解：求根公式得r1=1+2i r2=1-2i
∴通解为：y=C1e^x*cos2x+C2e^x*sin2x
//这种情况是共轭复根，规定i^2=1，√-1=i
//r=α±βi
//y=C1e^αx*cosβx+C2e^αx*sinβx二、可分离变量的一阶微分方程
解题步骤：
1.把y’写作dy/dx。
2.移项，使等式两边分别全为x，全为y。
3.对两边积分。
例1：求y'=2x的通解。
解：∵dy/dx=2x
∴dy=2xdx
∴∫dy=∫2xdx
∴y=x^2+C例2：求y'=e^2x-y，y|x=0=0的特解。
解：∵dy/dx=e^2x*e^-y
∴e^ydy=e^2xdx
∴∫e^ydy=∫e^2xdx
∴e^y=1/2*e^2x+C
代入x=0,y=0得C=1/2
∴e^y=1/2*e^2x+1/2
两边同取对数得 y=ln(e^2x+1)/2例3：求xy'-ylny=0的通解。
三、齐次方程
出现或者能产生y/x的情况使用，实际上就是换元法，步骤：
1.设u=y/x。
2.所以y=ux、dy/dx=u+x*du/dx，将两者代入方程(化为y/x形式的那个方程)。
3.分离变量的方法。
例1：求齐次方程xy'=ylny/x的通解。
四、一阶线性微分方程
1.方程：y'+P(x)y=Q(x)
2.公式：
例1： 求y'+y=e^x的通解。
例2：y'-ytanx=secx的通解。
还在解，后续补上答案。
例3：y'+y/x=sinx/x，y|x=π=1的特解。
五、 可降解的高阶微分方程
1.缺y型的形式：y''=f(x,y')
解题方法：令y'=p y''=p'
2.缺x型的形式：y''=f(y,y')
解题方法：令y'=p y''=p*dp/dy
例1：求(1+x^2)y''=2xy'的通解。(移项后符合y''=f(x,y')，是缺x型·)
例2：求yy''-y'^2=0的通解。(移项后符合y''=f(y,y')，是缺y型·)
六、常系数非齐次线性微分方程的特解形式
稍后更新
大家放心，草稿纸剩下的边边角角我都会用起来的，绝不会浪费纸张。如果有错误望指出。
