LeetCode583. 两个字符串的删除操作
动态规划五部曲：
1，确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[i][j]：以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1位结尾的字符串word2，想要达到相等，所需要删除元素的最少次数。
2，确定递推公式
- 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候
- 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候
当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，有三种情况：
情况一：删word1[i - 1]，最少操作次数为dp[i - 1][j] + 1
情况二：删word2[j - 1]，最少操作次数为dp[i][j - 1] + 1
情况三：同时删word1[i - 1]和word2[j - 1]，操作的最少次数为dp[i - 1][j - 1] + 2
那最后当然是取最小值，所以当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，递推公式：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1] + 2, dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1});因为 dp[i][j - 1] + 1 = dp[i - 1][j - 1] + 2，所以递推公式可简化为：dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);
3，dp数组如何初始化：从递推公式中，可以看出来，dp[i][0] 和 dp[0][j]是一定要初始化的。dp[i][0]：word2为空字符串，以i-1为结尾的字符串word1要删除多少个元素，才能和word2相同呢，很明显dp[i][0] = i。
4，确定遍历顺序：从递推公式 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1] + 2, min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1); 和dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]可以看出dp[i][j]都是根据左上方、正上方、正左方推出来的。所以遍历的时候一定是从上到下，从左到右，这样保证dp[i][j]可以根据之前计算出来的数值进行计算。
5，举例推导dp数组：以word1:"sea"，word2:"eat"为例，推导dp数组状态图如下：
Java代码如下：
public int minDistance(String word1, String word2) {
int len1 = word1.length();
int len2 = word2.length();
int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];
for (int i = 1; i <= len1; i++) {
for (int j = 1; j <= len2; j++) {
if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return len1 + len2 - dp[len1][len2] * 2;
} 
LeetCode72. 编辑距离
动态规划五部曲：
1，确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。
2，确定递推公式：在确定递推公式的时候，首先要考虑清楚编辑的几种操作，整理如下：
if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
不操作
if (word1[i - 1] != word2[j - 1])
增
删
换也就是如上4种情况。
if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 那么说明不用任何编辑，dp[i][j] 就应该是 dp[i - 1][j - 1]，即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
为啥要即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]呢？
那么就在回顾上面讲过的dp[i][j]的定义，word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相等了，那么就不用编辑了，以下标i-2为结尾的字符串word1和以下标j-2为结尾的字符串word2的最近编辑距离dp[i - 1][j - 1]就是 dp[i][j]了。
在整个动规的过程中，最为关键就是正确理解dp[i][j]的定义！
if (word1[i - 1] != word2[j - 1])，此时就需要编辑了，如何编辑呢？
- 操作一：word1删除一个元素，那么就是以下标i - 2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。
即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;
- 操作二：word2删除一个元素，那么就是以下标i - 1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。
即 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;
怎么都是删除元素，添加元素去哪了。
word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素，例如 word1 = "ad" ，word2 = "a"，word1删除元素'd' 和 word2添加一个元素'd'，变成word1="a", word2="ad"， 最终的操作数是一样！ dp数组如下图所示意的：
a a d
+-----+-----+ +-----+-----+-----+
| 0 | 1 | | 0 | 1 | 2 |
+-----+-----+ ===> +-----+-----+-----+
a | 1 | 0 | a | 1 | 0 | 1 |
+-----+-----+ +-----+-----+-----+
d | 2 | 1 |
+-----+-----+ 操作三：替换元素，word1替换word1[i - 1]，使其与word2[j - 1]相同，此时不用增删加元素。
可以回顾一下，if (word1[i - 1] == word2[j - 1])的时候我们的操作 是 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] 对吧。
那么只需要一次替换的操作，就可以让 word1[i - 1] 和 word2[j - 1] 相同。
所以 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
综上，当 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 时取最小的，即：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
3，dp数组如何初始化：再回顾一下dp[i][j]的定义：dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。那么dp[i][0] 和 dp[0][j] 表示什么呢？dp[i][0] ：以下标i-1为结尾的字符串word1，和空字符串word2，最近编辑距离为dp[i][0]。那么dp[i][0]就应该是i，对word1里的元素全部做删除操作，即：dp[i][0] = i;同理dp[0][j] = j;
4，确定遍历顺序：
从如下四个递推公式：
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1
可以看出dp[i][j]是依赖左方，上方和左上方元素的，如图：
所以在dp矩阵中一定是从左到右从上到下去遍历。
5，举例推导dp数组：以示例1为例，输入：word1 = "horse", word2 = "ros"为例，dp矩阵状态图如下：
Java代码如下：
public int minDistance(String word1, String word2) {
int m = word1.length();
int n = word2.length();
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
for (int i = 1; i <= m; i++) {
dp[i][0] = i;
}
for (int j = 1; j <= n; j++) {
dp[0][j] = j;
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
} else {
dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j - 1], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j]) + 1;
}
}
}
return dp[m][n];
}
