一.哈夫曼树
1.哈夫曼树
哈夫曼树是一种用于编码的树形结构。它是通过将频率最低的字符反复组合形成的二叉树，使得出现频率高的字符具有较短的二进制编码，而出现频率低的字符具有较长的编码。
在哈夫曼树中，每个叶子节点都代表一个字符，其权值表示该字符在文本中出现的次数。非叶子节点代表的权值为其两个子节点的权值之和。因此，从根节点到叶子节点的路径上的数字串即为该字符的哈夫曼编码。
在编码时，对于要编码的文本，把其中的每个字符用哈夫曼树的编码替换掉即可。解码时，从哈夫曼树的根节点开始，按照编码的数字串依次向下走，直到到达叶子节点，即可得到原来的字符。
哈夫曼树的应用广泛，常用于数据压缩、加密等领域。
2.构造哈夫曼树原理
给定n个权值分别为w1，w2… wn。的结点，构造哈夫曼树的算法描述如下:
- 1)将这n个结点分别作为n棵仅含一个结点的二又树，构成森林F.
- 2)构造一个新结点，从F中选取两棵根结点权值最小的树作为新结点的左、右子树，并且将新结点的权值置为左、右子树上根结点的权值之和。
- 3)从F中删除刚才选出的两棵树，同时将新得到的树加入F中。
4)重复步骤2)和3)，直至F中只剩下一棵树为止。
从上述构造过程中可以看出哈夫曼树具有如下特点:
- 1)每个初始结点最终都成为叶结点，且权值越小的结点到根结点的路径长度越大。
- 2)构造过程中共新建了n-1个结点(双分支结点)，因此哈夫曼树的结点总数为2n- 1
- 3)每次构造都选择2棵树作为新结点的孩子，因此哈夫曼树中不存在度为1的结点。
二.哈夫曼编码
哈夫曼编码的原理是通过构建哈夫曼树来实现的。具体地，首先统计给定文本中每个字符出现的频率，并将它们作为叶子节点构建出一棵二叉树。接着，反复合并权值最小的两个节点，得到新节点，将它们加入哈夫曼树中，直至所有节点都被合并成为一个根节点。在此过程中，左分支标记为0，右分支标记为1。最终得到的哈夫曼树即为字符的哈夫曼编码。
举例来说，对于输入字符串"ABBCCCDDDDEEEEE"，它包含了5种不同的字符 A、B、C、D 和 E，它们分别出现的次数为 1, 2, 3, 4 和 5。我们可以按照上述步骤构建出一个哈夫曼树，如下所示：
+--------+
| 15 |
+--------+
|
+--------+--------+
| | |
+---+ +---+ +---+
| B | | C | | D |
+---+ +---+ +---+
/ \ / \ / \
1/ \2 1/ \2 1/ \3
+----+ +---+ +--+ +---+ +--+
| A | | E | | | | | | |
+----+ +---+ +--+ +---+ +--+
在这个哈夫曼树中，每个叶子节点代表一个字符，其权值表示该字符在文本中出现的次数。非叶子节点代表的权值为其两个子节点的权值之和。从根节点到叶子节点的路径上的数字串即为该字符的哈夫曼编码。例如，E 的编码为 0，B 的编码为 10，C 的编码为 11，D 的编码为 2（注意这里是二进制编码），A 的编码为 30。
对于给定的文本，我们可以将其中的每个字符用哈夫曼树的编码替换掉，得到压缩后的二进制串。解压时，从哈夫曼树的根节点开始，按照编码的数字串依次向下走，直到到达叶子节点，即可得到原来的字符。
三.补充知识
1.C语言排序函数
qsort() 函数是 C 语言中的标准库函数，用于对数组进行排序。它的语法如下所示：
void qsort(void *base, size_t nmemb, size_t size, int (*compar)(const void*, const void*));
该函数接收四个参数，分别是：
void *base：需要排序的数组的首地址；size_t nmemb：数组中元素的个数；size_t size：每个数组元素占用的字节数；int (*compar)(const void*, const void*)：指向比较函数的指针。
其中，比较函数必须返回一个整数值，表示两个元素之间的关系，具体规定如下：
- 若返回值小于 0，则表示第一个元素应该排在第二个元素之前；
- 若返回值等于 0，则表示两个元素相等，无需改变它们在数组中的位置；
- 若返回值大于 0，则表示第一个元素应该排在第二个元素之后。
因为 qsort() 函数会直接操作原数组，因此在使用时需要保证比较函数和数据类型的匹配、越界访问等问题，以避免出现未定义行为。
2.占位符
在计算机科学中，占位符是一个表示数据的特殊字符或值。它通常用于代替实际数据或者标识出不存在的数据。
一些常见的占位符包括：
- 空格：在文本中，空格常被用作占位符。例如，在编程语言中，空格可以用于分隔单词或语句。
- 通配符：在搜索引擎、文件管理器和数据库查询等应用程序中，通配符（如 * 和 ?）可以用来匹配任意字符或字符串。它们可以帮助用户快速查找文件或记录。
- 十六进制码：在编程领域，十六进制码可以用作占位符表示某个未知的数值。它们也可以用于调试和修复代码中的错误。
- 填充字符：在格式化输出时，填充字符（如 0 或空格）可以用于在数字前面添加零或空格，以满足格式要求。
- 标记：在自然语言处理中，标记可以用于表示某个词汇或短语的类型。例如，POS（Part-of-Speech）标记可以用于表示一个单词是名词、动词还是形容词。
Node* parent = newNode(nodes[0]->weight + nodes[1]->weight, '-');
在这行代码中，'-'是一个占位符，用于表示新节点不代表任何字符或叶子节点。当构造哈夫曼树时，每个非叶子节点都需要有两个子节点，因此在将两个权重最小的节点合并成一个新节点时，需要创建一个没有对应字符的节点，以便作为它们的父节点。在这种情况下，可以使用一个占位符来表示该节点不代表任何字符。
四.核心功能实现
1.构造哈夫曼树
//构造哈夫曼树
HTree *createHTree(int n,char values[],int weights[]){
HTnode *nodes = (HTnode*)malloc(sizeof(HTnode)*n); //建立一个结点数组
for (int i = 0; i < n; ++i) {
nodes[i] = creatennode(weights[i], values[i]); //给每一个结点赋值
}
while (n > 1) {
// 对节点按照权重从小到大排序
qsort(nodes, n, sizeof(HTnode), cmp); //C语言的排序函数
// 取出两个权重最小的节点构造一个新的父节点
HTnode parent = creatennode(nodes[0]->weight + nodes[1]->weight, '-'); //构造它们的和结点，修改左右指针
parent->lchild = nodes[0];
parent->rchild = nodes[1];
// 将新节点插入到原来的节点集合中，并将原来的两个子节点从集合中删除
nodes[0] = parent;
for (int i = 2; i < n; ++i) { //其实这并不是严格的删除操作，相当于数组0号元素重载，然后从2号元素开始向前移动一个位置
nodes[i - 1] = nodes[i];
}
n--;
}
HTnode root = nodes[0]; //当剩下最后一个结点时，就是我们的根结点
free(nodes);
return root;
}
2.哈夫曼编码
//根据哈夫曼树输出哈夫曼编码
void print_code(HTnode &node, int* code, int len) {
// 如果是叶子节点，打印它的字符和对应编码
if (node->lchild == NULL && node->rchild == NULL) {
printf("%c的哈夫曼编码: ", node->val);
for(int i=0;i<len;i++){
printf("%d ",code[i]);
}
printf("\n");
}
else {
// 递归左子树，在编码末尾加上0
code[len] = 0;
print_code(node->lchild, code, len+1);
// 递归右子树，在编码末尾加上1
code[len] = 1;
print_code(node->rchild, code, len+1);
}
}
3.遍历哈夫曼树
这里应该算全文最简单的了，因为上一篇博客我已经写了二叉树的相关操作，；里面有二叉树的遍历，欢迎点击同专栏的二叉树的相关操作查看。
void visit1(HTnode &T){
printf("%d\t",T->weight); //这里遍历本来应该是输出value的，但是在构造二叉树的时候我们创建了新结点，其值是占位符，所以这里选择打印权值
}
//这里我们采用先序遍历
void Preorder(HTnode &T){
if(T!=NULL){
visit1(T); //在访问函数里面定义我们想要的可视化输出
Preorder(T->lchild);
Preorder(T->rchild);
}
}
五.完整代码
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <windows.h>
#define N 50 //叶子结点总数
#define M 2*N-1 //树中结点总数
//哈夫曼树中的结点
typedef struct HTNode
{
char val;
int weight;
struct HTNode * parent; //双亲结点
struct HTNode *lchild; //左孩子结点
struct HTNode *rchild; //右孩子结点
}HTree,*HTnode;
/*如果为了简单，我们可以把结点值存储为int型，这样可以直接代替权重*/
//创建一个结点
HTree *creatennode(int weight,char value){
HTnode node=(HTnode)malloc(sizeof(HTree));
node->val=value;
node->weight=weight;
node->lchild = NULL;
node->rchild = NULL;
node->parent = NULL;
return node;
}
// 比较函数，用于对节点按照权重从小到大排序
int cmp(const void* a, const void* b) {
HTnode node1 = *(HTnode*)a;
HTnode node2 = *(HTnode*)b;
return node1->weight - node2->weight;
}
//构造哈夫曼树
HTree *createHTree(int n,char values[],int weights[]){
HTnode *nodes = (HTnode*)malloc(sizeof(HTnode)*n); //建立一个结点数组
for (int i = 0; i < n; ++i) {
nodes[i] = creatennode(weights[i], values[i]); //给每一个结点赋值
}
while (n > 1) {
// 对节点按照权重从小到大排序
qsort(nodes, n, sizeof(HTnode), cmp); //C语言的排序函数
// 取出两个权重最小的节点构造一个新的父节点
HTnode parent = creatennode(nodes[0]->weight + nodes[1]->weight, '-'); //构造它们的和结点，修改左右指针
parent->lchild = nodes[0];
parent->rchild = nodes[1];
// 将新节点插入到原来的节点集合中，并将原来的两个子节点从集合中删除
nodes[0] = parent;
for (int i = 2; i < n; ++i) { //其实这并不是严格的删除操作，相当于数组0号元素重载，然后从2号元素开始向前移动一个位置
nodes[i - 1] = nodes[i];
}
n--;
}
HTnode root = nodes[0]; //当剩下最后一个结点时，就是我们的根结点
free(nodes);
return root;
}
/*这里为了检验我们的哈夫曼树是否正确，就把它当作二叉树遍历出来，和我们的手算作比较*/
//遍历就不要多说了，参考我上一篇博客，二叉树的相关操作
void visit1(HTnode &T){
printf("%d\t",T->weight); //这里遍历本来应该是输出value的，但是在构造二叉树的时候我们创建了新结点，其值是占位符，所以这里选择打印权值
}
//这里我们采用先序遍历
void Preorder(HTnode &T){
if(T!=NULL){
visit1(T); //在访问函数里面定义我们想要的可视化输出
Preorder(T->lchild);
Preorder(T->rchild);
}
}
//根据哈夫曼树输出哈夫曼编码
void print_code(HTnode &node, int* code, int len) {
// 如果是叶子节点，打印它的字符和对应编码
if (node->lchild == NULL && node->rchild == NULL) {
printf("%c的哈夫曼编码: ", node->val);
for(int i=0;i<len;i++){
printf("%d ",code[i]);
}
printf("\n");
}
else {
// 递归左子树，在编码末尾加上'0'
code[len] = 0;
print_code(node->lchild, code, len+1);
// 递归右子树，在编码末尾加上'1'
code[len] = 1;
print_code(node->rchild, code, len+1);
}
}
int main(){
int n;
HTnode p;
printf("请输入要编写的结点总数:");
scanf("%d",&n);
char values[n];
int weights[n];
for(int i=0;i<n;i++){
printf("请输入第%d个结点的值:\n",i);
scanf(" %c",&values[i]); //这里%c前面一定要留一个空格抵消前面的换行，否则会出bug
}
for(int j=0;j<n;j++){
printf("请输入第%d个元素的权重:\n",j);
scanf("%d",&weights[j]);
}
p=createHTree(n,values,weights);
Preorder(p);
printf("\n");
//到这一步，我已经测试了一遍，没有问题，下面开始思考哈夫曼编码问题
int code[n]; // 初始化为空串
print_code(p, code, 0); // htree为哈夫曼树的根节点
return 0;
}
代码虽然少，主要是写的过程。
六.运行结果
