哈夫曼树和哈夫曼编码

news2024/10/6 4:08:10

一.哈夫曼树

1.哈夫曼树

哈夫曼树是一种用于编码的树形结构。它是通过将频率最低的字符反复组合形成的二叉树,使得出现频率高的字符具有较短的二进制编码,而出现频率低的字符具有较长的编码。

在哈夫曼树中,每个叶子节点都代表一个字符,其权值表示该字符在文本中出现的次数。非叶子节点代表的权值为其两个子节点的权值之和。因此,从根节点到叶子节点的路径上的数字串即为该字符的哈夫曼编码。

在编码时,对于要编码的文本,把其中的每个字符用哈夫曼树的编码替换掉即可。解码时,从哈夫曼树的根节点开始,按照编码的数字串依次向下走,直到到达叶子节点,即可得到原来的字符。

哈夫曼树的应用广泛,常用于数据压缩、加密等领域。

2.构造哈夫曼树原理

给定n个权值分别为w1,w2… wn。的结点,构造哈夫曼树的算法描述如下:

  • 1)将这n个结点分别作为n棵仅含一个结点的二又树,构成森林F.
  • 2)构造一个新结点,从F中选取两棵根结点权值最小的树作为新结点的左、右子树,并且将新结点的权值置为左、右子树上根结点的权值之和。
  • 3)从F中删除刚才选出的两棵树,同时将新得到的树加入F中。
    4)重复步骤2)和3),直至F中只剩下一棵树为止。

从上述构造过程中可以看出哈夫曼树具有如下特点:

  • 1)每个初始结点最终都成为叶结点,且权值越小的结点到根结点的路径长度越大。
  • 2)构造过程中共新建了n-1个结点(双分支结点),因此哈夫曼树的结点总数为2n- 1
  • 3)每次构造都选择2棵树作为新结点的孩子,因此哈夫曼树中不存在度为1的结点。

二.哈夫曼编码

哈夫曼编码的原理是通过构建哈夫曼树来实现的。具体地,首先统计给定文本中每个字符出现的频率,并将它们作为叶子节点构建出一棵二叉树。接着,反复合并权值最小的两个节点,得到新节点,将它们加入哈夫曼树中,直至所有节点都被合并成为一个根节点。在此过程中,左分支标记为0,右分支标记为1。最终得到的哈夫曼树即为字符的哈夫曼编码。

举例来说,对于输入字符串"ABBCCCDDDDEEEEE",它包含了5种不同的字符 A、B、C、D 和 E,它们分别出现的次数为 1, 2, 3, 4 和 5。我们可以按照上述步骤构建出一个哈夫曼树,如下所示:

          +--------+
          |   15   |
          +--------+
                |
       +--------+--------+
       |         |        |
     +---+      +---+    +---+
     | B |      | C |    | D |
     +---+      +---+    +---+
      / \        / \      / \
    1/   \2    1/   \2  1/   \3
  +----+ +---+ +--+  +---+  +--+
  | A  | | E | |   |  |   |  |  |
  +----+ +---+ +--+  +---+  +--+

在这个哈夫曼树中,每个叶子节点代表一个字符,其权值表示该字符在文本中出现的次数。非叶子节点代表的权值为其两个子节点的权值之和。从根节点到叶子节点的路径上的数字串即为该字符的哈夫曼编码。例如,E 的编码为 0,B 的编码为 10,C 的编码为 11,D 的编码为 2(注意这里是二进制编码),A 的编码为 30。

对于给定的文本,我们可以将其中的每个字符用哈夫曼树的编码替换掉,得到压缩后的二进制串。解压时,从哈夫曼树的根节点开始,按照编码的数字串依次向下走,直到到达叶子节点,即可得到原来的字符。

三.补充知识

1.C语言排序函数

qsort() 函数是 C 语言中的标准库函数,用于对数组进行排序。它的语法如下所示:

void qsort(void *base, size_t nmemb, size_t size, int (*compar)(const void*, const void*));

该函数接收四个参数,分别是:

  • void *base:需要排序的数组的首地址;
  • size_t nmemb:数组中元素的个数;
  • size_t size:每个数组元素占用的字节数;
  • int (*compar)(const void*, const void*):指向比较函数的指针。

其中,比较函数必须返回一个整数值,表示两个元素之间的关系,具体规定如下:

  • 若返回值小于 0,则表示第一个元素应该排在第二个元素之前;
  • 若返回值等于 0,则表示两个元素相等,无需改变它们在数组中的位置;
  • 若返回值大于 0,则表示第一个元素应该排在第二个元素之后。

因为 qsort() 函数会直接操作原数组,因此在使用时需要保证比较函数和数据类型的匹配、越界访问等问题,以避免出现未定义行为。

2.占位符

在计算机科学中,占位符是一个表示数据的特殊字符或值。它通常用于代替实际数据或者标识出不存在的数据。

一些常见的占位符包括:

  1. 空格:在文本中,空格常被用作占位符。例如,在编程语言中,空格可以用于分隔单词或语句。
  2. 通配符:在搜索引擎、文件管理器和数据库查询等应用程序中,通配符(如 * 和 ?)可以用来匹配任意字符或字符串。它们可以帮助用户快速查找文件或记录。
  3. 十六进制码:在编程领域,十六进制码可以用作占位符表示某个未知的数值。它们也可以用于调试和修复代码中的错误。
  4. 填充字符:在格式化输出时,填充字符(如 0 或空格)可以用于在数字前面添加零或空格,以满足格式要求。
  5. 标记:在自然语言处理中,标记可以用于表示某个词汇或短语的类型。例如,POS(Part-of-Speech)标记可以用于表示一个单词是名词、动词还是形容词。
  Node* parent = newNode(nodes[0]->weight + nodes[1]->weight, '-');

在这行代码中,'-'是一个占位符,用于表示新节点不代表任何字符或叶子节点。当构造哈夫曼树时,每个非叶子节点都需要有两个子节点,因此在将两个权重最小的节点合并成一个新节点时,需要创建一个没有对应字符的节点,以便作为它们的父节点。在这种情况下,可以使用一个占位符来表示该节点不代表任何字符。

四.核心功能实现

1.构造哈夫曼树

//构造哈夫曼树
HTree *createHTree(int n,char values[],int weights[]){
	HTnode *nodes = (HTnode*)malloc(sizeof(HTnode)*n);          //建立一个结点数组
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		nodes[i] = creatennode(weights[i], values[i]);          //给每一个结点赋值
	}
	while (n > 1) {
		// 对节点按照权重从小到大排序
		qsort(nodes, n, sizeof(HTnode), cmp);             //C语言的排序函数
		
		// 取出两个权重最小的节点构造一个新的父节点
		HTnode parent = creatennode(nodes[0]->weight + nodes[1]->weight, '-');  //构造它们的和结点,修改左右指针
		parent->lchild = nodes[0];
		parent->rchild = nodes[1];
		
		// 将新节点插入到原来的节点集合中,并将原来的两个子节点从集合中删除
		nodes[0] = parent;             
		for (int i = 2; i < n; ++i) {            //其实这并不是严格的删除操作,相当于数组0号元素重载,然后从2号元素开始向前移动一个位置
			nodes[i - 1] = nodes[i];
		}
		n--;
	}
	HTnode root = nodes[0];              //当剩下最后一个结点时,就是我们的根结点
	free(nodes);
	return root;
}

2.哈夫曼编码

//根据哈夫曼树输出哈夫曼编码
void print_code(HTnode &node, int* code, int len) {
	// 如果是叶子节点,打印它的字符和对应编码
	if (node->lchild == NULL && node->rchild == NULL) {
		printf("%c的哈夫曼编码: ", node->val);
		for(int i=0;i<len;i++){
			printf("%d ",code[i]);
		}
		printf("\n");
	}
	else {
		// 递归左子树,在编码末尾加上0
		code[len] = 0;
		print_code(node->lchild, code, len+1);
		
		// 递归右子树,在编码末尾加上1
		code[len] = 1;
		print_code(node->rchild, code, len+1);
	}
}

3.遍历哈夫曼树

这里应该算全文最简单的了,因为上一篇博客我已经写了二叉树的相关操作,;里面有二叉树的遍历,欢迎点击同专栏的二叉树的相关操作查看。

void visit1(HTnode &T){
	printf("%d\t",T->weight);             //这里遍历本来应该是输出value的,但是在构造二叉树的时候我们创建了新结点,其值是占位符,所以这里选择打印权值
}

//这里我们采用先序遍历
void Preorder(HTnode &T){
	if(T!=NULL){
		visit1(T);        //在访问函数里面定义我们想要的可视化输出
		Preorder(T->lchild);
		Preorder(T->rchild);
	}
}

五.完整代码

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <windows.h>

#define N 50         //叶子结点总数 
#define M 2*N-1      //树中结点总数

//哈夫曼树中的结点
typedef struct HTNode
{
	char val;
	int weight;
	struct HTNode * parent;       //双亲结点
	struct HTNode *lchild;       //左孩子结点
	struct HTNode *rchild;       //右孩子结点
}HTree,*HTnode;
/*如果为了简单,我们可以把结点值存储为int型,这样可以直接代替权重*/

//创建一个结点
HTree *creatennode(int weight,char value){
	HTnode node=(HTnode)malloc(sizeof(HTree));
	node->val=value;
	node->weight=weight;
	node->lchild = NULL;
	node->rchild = NULL;
	node->parent = NULL;
	return node;
}

// 比较函数,用于对节点按照权重从小到大排序
int cmp(const void* a, const void* b) {
	HTnode node1 = *(HTnode*)a;
	HTnode node2 = *(HTnode*)b;
	return node1->weight - node2->weight;
}

//构造哈夫曼树
HTree *createHTree(int n,char values[],int weights[]){
	HTnode *nodes = (HTnode*)malloc(sizeof(HTnode)*n);          //建立一个结点数组
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		nodes[i] = creatennode(weights[i], values[i]);          //给每一个结点赋值
	}
	while (n > 1) {
		// 对节点按照权重从小到大排序
		qsort(nodes, n, sizeof(HTnode), cmp);             //C语言的排序函数
		
		// 取出两个权重最小的节点构造一个新的父节点
		HTnode parent = creatennode(nodes[0]->weight + nodes[1]->weight, '-');  //构造它们的和结点,修改左右指针
		parent->lchild = nodes[0];
		parent->rchild = nodes[1];
		
		// 将新节点插入到原来的节点集合中,并将原来的两个子节点从集合中删除
		nodes[0] = parent;             
		for (int i = 2; i < n; ++i) {            //其实这并不是严格的删除操作,相当于数组0号元素重载,然后从2号元素开始向前移动一个位置
			nodes[i - 1] = nodes[i];
		}
		n--;
	}
	HTnode root = nodes[0];              //当剩下最后一个结点时,就是我们的根结点
	free(nodes);
	return root;
}
/*这里为了检验我们的哈夫曼树是否正确,就把它当作二叉树遍历出来,和我们的手算作比较*/
//遍历就不要多说了,参考我上一篇博客,二叉树的相关操作

void visit1(HTnode &T){
	printf("%d\t",T->weight);             //这里遍历本来应该是输出value的,但是在构造二叉树的时候我们创建了新结点,其值是占位符,所以这里选择打印权值
}

//这里我们采用先序遍历
void Preorder(HTnode &T){
	if(T!=NULL){
		visit1(T);        //在访问函数里面定义我们想要的可视化输出
		Preorder(T->lchild);
		Preorder(T->rchild);
	}
}

//根据哈夫曼树输出哈夫曼编码
void print_code(HTnode &node, int* code, int len) {
	// 如果是叶子节点,打印它的字符和对应编码
	if (node->lchild == NULL && node->rchild == NULL) {
		printf("%c的哈夫曼编码: ", node->val);
		for(int i=0;i<len;i++){
			printf("%d ",code[i]);
		}
		printf("\n");
	}
	else {
		// 递归左子树,在编码末尾加上'0'
		code[len] = 0;
		print_code(node->lchild, code, len+1);
		
		// 递归右子树,在编码末尾加上'1'
		code[len] = 1;
		print_code(node->rchild, code, len+1);
	}
}

int main(){
	int n;
	HTnode p;
	printf("请输入要编写的结点总数:");
	scanf("%d",&n);
	char values[n];
	int weights[n];
	for(int i=0;i<n;i++){
		printf("请输入第%d个结点的值:\n",i);
		scanf(" %c",&values[i]);        //这里%c前面一定要留一个空格抵消前面的换行,否则会出bug
	}
	for(int j=0;j<n;j++){
		printf("请输入第%d个元素的权重:\n",j);
		scanf("%d",&weights[j]);
	}
	p=createHTree(n,values,weights);
	Preorder(p);
	printf("\n");
	//到这一步,我已经测试了一遍,没有问题,下面开始思考哈夫曼编码问题
	int code[n]; // 初始化为空串
	print_code(p, code, 0);  // htree为哈夫曼树的根节点
	return 0;
}

代码虽然少,主要是写的过程。

六.运行结果

9VTf.jpg

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