一道北大强基题背后的故事（三）—

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上回我们针对这道北大强基题[((1 + sqrt(5)) / 2) ^ 12]在答案的基础上给出了出题的可能思路，想一探究竟，相关内容请戳：

一道北大强基题背后的故事（二）——出题者怎么想的？

一道北大强基题背后的故事（一）——从走弯路到看答案

今天我们接着来思考上期留下的问题，这道需要完成构造的题，是不是一道好题呢？

考官期待你的参考思路

回顾这道题，再总结一下，如果想顺利破解，按照出题人自己的原始想法和设计，需要以下的参考分析过程来找到解答：

step1：估算常规方法计算量，果断抛弃（没错，本系列第一篇《一道北大强基题背后的故事（一）——从走弯路到看答案》就直接走进了应该抛弃的死胡同）

1. 二项式定理：12次幂展开求解；（并不希望用到指数计算复杂度和根号数的化简，反而容易带进坑去）

2. 计算复杂度估计：次幂增长巨大的感性认识和估算复杂度的能力，并经验上判断不应该朝这方面想，故放弃此路径；

1和2得到直接计算路径不通，得想别的办法；

step2：构造可行的配方式

3. 整数估算：如果能把对应式子表示成已知值加减一个1以内的数即完成，可以是刷题来的数感经验，也可以是解题技巧；

于是，构造A = [((1 + sqrt(5)) / 2) ^ 12] + B，A是好求的整数，|B| in (0, 1)，搞定这两点就搞定题目，此乃化归思想；

4. 一元二次方程通解的形式是a +/- b sqrt(c)，当c < 0时存在虚数，当c是完全平方数时根号才会不见，故题设求的可能是一个一元二次方程的根的次幂，另一个根很可能是该带根号无理数对应根式的共轭根式，这样当abc是有理数时，这个方程的系数也是，根据求根公式可以反推方程为x ^ 2 - 2 a x + a ^ 2 - b ^ 2 c = 0；

5. 韦达定理，当另一个根是共轭根式时，也可以轻松写出原方程，另外也可以知道共轭时，原方程系数也是和abc一样的有理数；

4和5中的一个，可以猜想B = ((1 - sqrt(5)) / 2) ^ 12，（别问12次幂是怎么猜的，可以基于对称性的构造，直觉，以及验证，但还是可以说是猜的）；需要验证|B| in (0, 1)和验证A是否好求；

验证|B| in (0, 1)：

6. 幂函数性质：|x| < 1，则|x ^ n| < 1；

7. 根号近似值记忆：sqrt(2/3/5/7)小数点两位以内的记忆；

8. 小数的四则运算；

9. 完全平方数的记忆：4,9,16等；

10. 放缩法不等式：- 1 < (1 - sqrt(5)) / 2 < 0（根据边界紧度和计算方便上寻找放缩点）；

由6转化为|(1 - sqrt(5)) / 2| in (0, 1)的问题，8是计算的基础，以及7或者9和10，即可验证成立；

step3：根据配方结果求解

求A：

11. 特征根公式：对形如a_(n + 2) = Aa_(n + 1) + Ba_n的递推关系式，可以转化为特征方程求特征根后，给出对应的通项公式形式，再根据起始条件解方程求解；

12. 特征根公式逆形式：即，若给定形如a_n = Ca1 ^ n + Da2 ^ n或(C + nD)a1 ^ n形式的通项公式，则一定存在形如a_(n + 2) = Aa_(n + 1) + Ba_n的递推关系式，且A, B可以根据是以a1, a2为一对根的二次方程的系数求得；

13. 计算复杂度估计：整数A, B下的递推关系a_(n + 2) = Aa_(n + 1) + Ba_n直接计算的时间为线性时间，在n不大，数值增长也有限时为可算范围，执行计算。

由此在13的估计下，用11转为递推表达式，原问题得解。

这个题目中，只有8，11和12是正儿八经考察的知识点，即直接命中了学过的已知条件，得出对应结论的过程。剩下的每一个步骤，都是借助知识应用组合后带来的结论在指导我们分析的方向。其中1不要求直接写出公式，却要和2的复杂度估算意识和能力结合起来排除掉一条错误的路径，同理13则用来给出正确路径；3和6是中间结论，但很容易根据定义推导；4和5是构造式子的背景知识，非严格推理；7和9是死记硬背的常识；10是根号数的定义和单调性。

可以说，对综合数学素养从各个维度的考察，是十分到位的。

而最难的题眼，上期也提到，就是Da2 ^ n部分的构造，并不是毫无章法。它考察了对求根公式，韦达定理的内容和执行效果的深度的理解和熟悉感，如果有，人脑就有很大概率能想到这一层。

不得不说，这个考察方式，实在是妙。

这里的每一步的分析，往下走的每一步，除了要保证逻辑上通畅以保证正确性以外，要能都想到它们要朝着这个方向走，是没有直接答案的，这也是数学最难的地方。如果你经验丰富，分析思路基本就能贴近考察者给的思路；如果逻辑不严谨，可能就会犯推理错误；如果没有经验不足，可能就会进入圈套而没法找到正确的路子。同时，也不是不允许你走弯路，只是你脑子里至少得存在可行解，并且能够有足够好的优化器在规定时间内找到它。

再往下分析，其实每一条知识的成立，又可以从结论倒推到最基本的原理来讲解为什么这样。但是在有限时间内解决数学题，就是要去考察你能否以一定的效率去判断和决策，最后找到解决问题的可行解。所以以上问题中，看似很繁杂，但其实除了严格的推理计算部分，大部分是直接一闪而过就排除或决定开始执行了的。一方面因为你记忆了一些中间结论直接使用，另外也能很快地根据对目标方向的估算而完成猜想，并有时候直接执行而不去论证，用循证的方式把问题解决。这也是小题的做法，凭感觉找到的解算你本事，不直接考察严密的逻辑，但后者一方面短时间内不可能严谨，另外就看你是否有对的感觉了。

但是你也会发现，这个推理路径上并不是要求你每一步都要100%掌握的，比如4/5, 7/9+10，它们中间你掌握一个就够用了，或者A = [((1 + sqrt(5)) / 2) ^ 12] + B的核心构造，一开始可能不熟悉3的性质，但是通过4/5的线索，一样可以得出来。只不过一般的题目不应该出现太容易的思路通路，会给人设计不好的感觉。

另外在严谨性方面，这题也很有讲究。比如这里的A和B的取值，使得对应方程有一个根在(0, 1)是前提；同时，数值不能太小太容易，或者太大而难以观察；n的取值也要恰到好处，能够既防止硬算，也要使得按给定思路计算的计算量也不能过大。

直到这里，我才真的确信，出题者给的这两个特征根(1 +/- sqrt(5)) / 2)，以及n = 12这两个参数的最后一步绝对不是随便给的。虽然以上这种计算机式的计算过程可行，但是出题者还是想方设法设置了障碍，让这些硬算而没有分析出数学特征的人走错片场而花了时间也得不到好结果。

而这个数X ^ n会和1的差距越来越近，通过分析“正确”的解题思路也可以分析出来，那就是加和为整数的两个数，其中一部分无限接近于0，另一部分的小数部分也应该无限接近于1（另一半大于0）或0（小于0），所以注定用硬算的办法，就是费力不讨好吧，从这个最本质的数学表达式的分析中就可以窥见一二了。

这是好题吗？

总结一下，一个好的数学选拔考试题目，就是要具备这样的特性：

1. 有核心的基础知识考察点；

2. 要把知识的运用间接地体现在分析到解答中的关键处，而不是直接的默写题，即充分考察学生的分析能力；

3. 参考解答的思路要让人感觉合理而巧妙，不是文字游戏和脑筋急转弯；

4. 几乎没有别的在考场有限的时间内解决的其他办法，不能被破解了；

而从结果上而言，好题，刚好可以区分开数学素养这个意义上的好生和差生。

感性上，这确实是一道好题。

相反那些核心考点不明确，考察方式不明朗，或者思路怪异，过难和容易的题，都是有待商榷的。

但这时候，最开始因为硬算而掉进陷阱的冤魂又出来伸冤了：

凭什么我去硬算就是不合理，还恰好走进死胡同，而你给的思路就是富有美感而合理巧妙的呢？

那不妨再刨根问底一下，什么叫合理而巧妙呢？

我因为走进死胡同没有在有限时间内算出来，是我的水平不行，还是我揣摩出题人的意图不行呢？

以及，这样的分析能力的锻炼，到底有什么用？

我们是谁：

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！