【数据结构与算法篇】二叉树的性质（补充）

news2025/7/13 1:18:00

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👻内容专栏：《数据结构与算法篇》
🐨本文概括：继上一篇深入浅出_二叉树之后遗漏掉了，再次写一篇二叉树的性质博文，对二叉树进行补充总结。
🐼本文作者：花碟
🐸发布时间：2023.6.8

二叉树的性质

对于二叉树，有以下几条性质：

若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i - 1) 个结点
若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 2^h - 1
对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n₀ , 度为2的分支结点个数为 n₂ ,则有 n₀＝n₂ ＋1
若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log₂(n + 1) . (ps：log₂(n + 1) 是log以2为底，n+1为对数)

🏃‍♂️🏃‍♂️牛刀小试：

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）
  A. 不存在这样的二叉树
  B. 200
  C. 198
  D. 199
  解释：我们直接套用上面的第3条性质，度为2的分支结点个数为199，那么度为0的分支结点个数比度为2的分支节点个数多一个，199 + 1 = 200
1. 下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（）
  A. 非完全二叉树
  B. 堆
  C. 队列
  D. 栈
  解释：堆一般为二叉树的顺序存储结构，所以适合，栈遵循后进先出的原则，也适合，对于队列和非完全二叉树来说，队列相对来说，更易于用顺序存储，比如说循环队列，但是非完全二叉树就不适合了，因为可能存在很多空树的情况，导致空间出现大量的浪费，所以不适合。
1. 在具有 2n 个节点的完全二叉树中，叶子节点个数为（）
  A. n
  B. n+1
  C. n-1
  D. n/2
  解释：对于一个完全二叉树节点个数为2n，设叶子节点的个数为n₀，度为1的节点个数为n₁，度为2的节点个数为n₂，则必有n₀+ n₁ + n₂ = 2n，而完全二叉树度为1的节点只有0个或者1个，这取决于完全二叉树最底层的节点的个数是奇数还是偶数，是奇数，n₁ 就为1；是偶数，n₁就为0。最后根据第3条的性质，代入进去，2n₀ - 1 + n₁ = 2n ，所以这里的n₁ 只能为1个，得到选项的结果，叶子节点个数就是n
1. 一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（）
  A 11
  B 10
  C 8
  D 12
  解释：2¹⁰是1024，2⁹是512，高度为h的完全二叉树的最大节点数为2^h - 1 + 1，高度为9的完全二叉树的最大节点数为 2⁹ - 1 + 1 = 512，高度为10的完全二叉树的最大节点数为 2¹⁰ - 1 + 1 = 1024，题目说是节点数为531个，小于高度为10的最大节点数。符合。
1. 一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
  A. 383
  B. 384
  C. 385
  D. 386
  解释：这题与第三题类似，对于一个完全二叉树节点个数为767，设叶子节点的个数为n₀，度为1的节点个数为n₁，度为2的节点个数为n₂，则必有n₀+ n₁ + n₂ = 767，最后根据第3条的性质，代入进去，2n₀ - 1 + n₁ = 767，根据选项的结果，n₁为0，即完全二叉树最底层的节点个数为偶数，算得叶子节点个数为384

根据两种遍历方式确定一颗二叉树

1. 某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为（）
  A. ABDHECFG
  B. ABCDEFGH
  C. HDBEAFCG
  D. HDEBFGCA
  解释：
  我们直接根据层序遍历的序列，把二叉树画出来，前序序列就很直观的写出来了。
1. 二叉树的先序遍历和中序遍历如下：前序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为（）
  A. E
  B. F
  C. G
  D. H
  解释：前序遍历的第一个节点即为根节点。
1. 设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为____。
  A. adbce
  B. decab
  C. debac
  D. abcde
  解释：见下图
  法一：前(or 后)序遍历 确定根，中序遍历确定左右子树的区间。
  
  法二：第二种是投机取巧的方法，仅限于解题。将后序(or 前序)遍历的序列 放置纵轴，且需要保证根的方向，按根的方向排列。然后将中序遍历的序列放置于横轴，确立两个相同的点的坐标，然后连线。
  ⚠ 注意连线的规则：①左子树的所有节点在父节点的左侧，右子树的所有节点在父节点的右侧。
  ②如果需要代码实现，还是第一种方法的思想适合写递归操作。
1. 某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出（同一层从左到右）的序列
  为
  A. FEDCBA
  B. CBAFED
  C. DEFCBA
  D. ABCDEF
  解释：如下图
1. 已知某二叉树的中序遍历序列为JGDHKBAELIMCF，后序遍历序列为JGKHDBLMIEFCA，则其前序遍历序列为（）
  A.ABDGHJKCEFILM
  B.ABDGJHKCEILMF
  C.ABDHKGJCEILMF
  D.ABDGJHKCEIMLF
  解释：
  法一：
  法二：
1. 已知某二叉树的前序遍历序列为5 7 4 9 6 2 1，中序遍历序列为4 7 5 6 9 1 2，则其后序遍历序列为（）
  A.4 2 5 7 6 9 1
  B.4 2 7 5 6 9 1
  C.4 7 6 1 2 9 5
  D.4 7 2 9 5 6 1
  解释：
  通过前序遍历找到子树的根，在中序遍历中找到根的位置，然后确定根左右子树的区间，即根的左侧为左子树中所有节点，根的右侧为右子树中所有节点。
  故：根为： 5
  5的左子树：4 7 5的右子树： 6 9 1 2
  5的左子树的根为: 7 5的右子树的根为：9
  7的左子树: 4 7的右：空 9的左子树：6 9的右子树：2
  确定树的结构为：