第一次实验

一.实验目的

掌握有信息搜索策略的算法思想
能够编程实现搜索算法
应用A*搜索算法求解罗马尼亚问题

二.算法原理

1.A*搜索的评估函数

A算法是一种启发式算法。A*搜索对结点的评估包含两部分，一部分是到达此结点已经花费的代价，记为g(n)；另一部分是该结点到目标结点的最小代价的估计值，记为h(n)。因此，经过结点n的最小代价解的估计代价为：
$f (n) = g (n) + h (n)$
每次扩展结点时，首先扩展f(n)最小的结点。假设启发式函数h(n)满足特定的条件，则A搜索既是完备的也是最优的。

2.保证最优性的条件

A*算法保证最优性的条件是可采纳性和一致性。

可采纳性是指估计到达目标的代价时，估计值一定小于实际值，即f(n)一定不会超过经过结点n的解的实际代价。因此当搜索到目标结点时，得到的一定是最优解，没有其他结点的估计值更小。

一致性只作用于图搜索。如果对于每一个结点n和通过任一行动a生成n的每个后继结点n’，结点n到达目标的估计代价不大于从n到n’的单步代价与从n’到达目标的估计代价之和。这保证了h(n)是经n到达目标结点的下界。
$h(n)\leq c(n,a,n') + h(n')$
如果h(n)是可采纳的，则A*进行树搜索是最优的；如果h(n)是一致的，则图搜索的A*算法是最优的。在搜索时，由于A*算法的可采纳性，扩展的结点是下界值最小的，当扩展出目标结点时，得到的一定是最优解。因为目标结点的h(n)=g(n)，而这个值小于等于任何其他结点的下界，又根据一致性，之后扩展的目标结点代价不会更低，因此第一个扩展到的目标结点一定是最优解。

3.完备性

完备性要求代价小于等于C*(最优解路径的代价值)的结点是有穷的，每步代价都超过ε并且b是有穷的。

三.求解罗马尼亚问题的算法实现

罗马尼亚问题是一个图的最佳路径搜索问题，可以使用A*算法解决。评估函数 $f (n) = g (n) + h (n)$ ，g(n)是到达结点的代价，在扩展结点n时计算，h(n)是结点n距离终点的预计代价，采用直线距离，题中已经给出。由于启发信息h(n)采用直线距离，满足可采纳性和一致性，该搜索方式是最优的。

具体实现时，每个结点需要保存的信息包含g(n)，h(n)，而f(n)=g(n)+h(n)。由于每次要取出f(n)最小的结点，重载<，便于对结点进行排序。

struct node{
    int g;
    int h;
    int f;
    int name;
    node(int name, int g, int h){
        this->name = name;
        this->g = g;
        this->h = h;
        this->f = g + h;
    };
    bool operator <(const node &a)const{
        return f < a.f;
    }
};

图使用邻接矩阵来存储，并可以初始化所有边的信息。

class Graph{
public:
    Graph()	{memset(graph, -1, sizeof(graph));}
    int getEdge(int from, int to)	{return graph[from][to];}
    void addEdge(int from, int to, int cost){
        if (from >= 20 || from < 0 || to >= 20 || to < 0)
            return;
        graph[from][to] = cost;
    }
	void init(){
        addEdge(O, Z, 71);
		...添加所有边
	}
private:
    int graph[20][20];
};

在搜索过程中，待扩展结点形成一个有序队列，每个结点只扩展一次，需要记录已经扩展过的结点。在初始状态下，每个结点的g(n)值是未知的，因此在扩展当前结点时，要更新当前结点能够到达的所有结点的g(n)，保证g(n)取的是到达一个结点的最小代价，为了快速判断更新结点是否在队列中，可以直接记录结点是否在当前队列当中。

bool list[20];				//记录结点是否在当前队列
vector<node> openList;		//扩展队列
bool closeList[20];			//记录结点是否扩展过
stack<int> road;			//记录路径
int parent[20];				//记录路径

开始搜索时首先将起点入队，只要队列中还有可扩展结点，就不断扩展，当扩展结点为目标结点时，搜索结束。扩展结点时，首先要判断当前结点是否能到达新结点，新结点是否扩展过。如果可扩展新结点，新结点在队列中，则遍历队列找到该结点，尝试更新g(n)和f(n)，否则直接构造新结点并加入队列，扩展当前结点结束后，对队列进行排序，保证继续取出f(n)最小的结点扩展。

void A_star(int goal,node &src,Graph &graph){
    openList.push_back(src);
    sort(openList.begin(), openList.end());
    while (!openList.empty()){
        /********** Begin **********/
		node cur = openList[0];
        if(cur.name==goal) return;								//取出目标结点，搜索结束
        openList.erase(openList.begin());
        closeList[cur.name] = true;								//当前结点已扩展
        list[cur.name] = false;									//当前结点出队
        for(int i=0;i<20;i++){
            if(graph.getEdge(cur.name, i)!=-1 && !closeList[i]){
                int cost = cur.g + graph.getEdge(cur.name, i);	//到达下一个城市的代价
                if(list[i]){
                   //更新已有结点
                    for(int j=0;j<openList.size();j++){
                        if(openList[j].name==i){
                            if(openList[j].g>cost){
                               openList[j].g = cost;
                               openList[j].f = openList[j].h + cost;
                               parent[i] = cur.name;
                           }
                           break;
                       }
                   }
               }
               else{
                   //构造新结点
                   node newNode(i, cost, h[i]);
                   openList.push_back(newNode);
                   list[i] = true;
                   parent[i] = cur.name;
               }
            }
        }
        sort(openList.begin(), openList.end());
		/********** End **********/  
    }
}

搜索结果是最优解。

在这里插入图片描述

步骤代价为常数的问题，时间复杂度的增长是最优解所在深度d的函数，可以通过启发式的绝对错误和相对错误分析。绝对误差为 $Δ=h^*-h$ ， $h^*$ 为根节点到目标结点的实际代价。在最大绝对误差下，A*的时间复杂度为指数级 $O(b^Δ)$ ，每步骤代价为常量，因此可以记为 $O(b^{εd})$ ，d为解所在深度。

四.思考题

1.宽度优先搜索，深度优先搜索，一致代价搜索，迭代加深的深度优先搜索算法哪种方法最优？

当每一步的行动代价都相等时，宽度优先搜索和迭代加深的深度优先搜索最优，否则一致搜索代价算法最优。宽度优先算法在最浅的目标处于有限深度时是完备的，但只有路径代价是基于结点深度的非递减函数时才是最优的，最典型的就是行动代价相等的情况，迭代加深的深度优先搜索类似，且二者时间复杂度与空间复杂度也相同。一致代价搜索时最优的，扩展路径消耗最小的结点，由于代价非负，第一个被扩展的目标结点一定是最优解。但一致代价搜索可能会探索代价小的行动的搜索树，开销更大。深度优先搜索既不是完备的，也不是最优的。

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