二阶张量在特定方向的投影

法向和切向分量

二阶张量T投影到$\hat{n}$方向的结果是${\vec{t}}^{(\hat{n})}=T\cdot \hat{n}$，其中${\vec{t}}^{(\hat{n})}$可以分解成：
$${\vec{t}}^{(\hat{n})}={\vec{T}}_N+{\vec{T}}_S$$
其中，${\vec{T}}_N$是法向量，${\vec{T}}_S$是切向量

如果记$\hat{n}$和$\hat{s}$是${\vec{T}}_N$和${\vec{T}}_S$方向的单位向量，那么可以表示成：
$${\vec{t}}^{(\hat{n})}=T_N\hat{n}+T_S\hat{s}$$
其中，$T_N$和$T_S$是${\vec{T}}_N$和${\vec{T}}_S$的大小

向量${\vec{T}}_N$如下所示：

因此：
$$T_N={\vec{t}}^{(\hat{n})}\cdot \hat{n}=\hat{n}\cdot T\cdot \hat{n}={\hat{n}}_k{T}_{kj}{\hat{n}}_j$$

之前有讨论过，若对于所有的$\hat{n}\ne 0$，有$T_N=\hat{n}\cdot T\cdot \hat{n}>0$，则$T$是正定张量，并且可以表示成：$T_N=\hat{n}\cdot T\cdot \hat{n}=\hat{n}\cdot T^{sym}\cdot \hat{n}$

所以，如果一个张量的对称部分是正定的，那么这个张量也是正定的

向量${\vec{T}}_S$可以表示成：

也可以表示成如下所示：
$${\vec{T}}_S={\vec{t}}^{(\hat{n})}-{\vec{T}}_N=T\cdot \hat{n}-[T:(\hat{n}⨂\hat{n})]\hat{n}$$

${\vec{T}}_S$的大小可以由勾股定理得到：

其中：$t_i^{(\hat{n})}{t}_i^{(\hat{n})}=T_{ij}{T}_{ik}{n}_j{n}_k$

思考：在哪个平面才是最大的法向和切向分量？

问题A.1 证明${\vec{T}}_S={\vec{t}}^{(\hat{n})}\cdot (1-\hat{n}⨂\hat{n})$，其中${\vec{t}}^{(\hat{n})}$就是二阶张量$T$投影到方向$\hat{n}$的结果，${\vec{T}}_S$是切向向量

法向分量的最大和最小值

法向分量为$T_N=\hat{n}\cdot T\cdot \hat{n}$，满足$\hat{n}\cdot \hat{n}=1$约束条件。那么求在这个约束条件下$T_N$的最大最小值可以使用拉格朗日乘子法：
$$\mathcal{L}(\hat{n},\mu )=T_N-\mu (\hat{n}\cdot \hat{n}-1)=\hat{n}\cdot T\cdot \hat{n}-\mu (\hat{n}\cdot \hat{n}-1)$$
其中，$\mu$是拉格朗日乘子，那么函数$\mathcal{L}$关于$\mu$和$\hat{n}$的导数为：

第一行有解当且仅当$\det (T^{sym}-1)=0$，这是关于张量T的对称部分的特征值问题。

也就是说，$T_N$的最大最小值问题跟$T^{sym}$的特征值相关。

现在，假设有$T_1^{sym}，T_2^{sym}，T_3^{sym}$作为$T^{sym}$的特征值，那么可以重组这些值为：
$$T_I^{sym}>T_{II}^{sym}>T_{III}^{sym}$$
那么，$T_N$的最大值记为$T_I^{sym}$, 最小值记为$T_{III}^{sym}$

NOTE: 反对称部分在法向量中不起作用，因为$T_N=\hat{n}\cdot T\cdot \hat{n}=\hat{n}\cdot T^{sym}\cdot \hat{n}$

切向分量的最大最小值

为了方便，将在T的主空间讨论，分量表示为法向分量

那么，方向$\hat{n}$的法向分量$T_N$，如下所示：
$$T_N=t_i^{(\hat{n})}{\hat{n}}_i=T_{ij}{\hat{n}}_i{\hat{n}}_j=T_1{\hat{n}}_1^2+T_2{\hat{n}}_2^2+T_3{\hat{n}}_3^2$$

在特定的方向${\hat{n}}_i=[1,0,0]⟹T_N=T_i$

切向分量如下所示：
$$T_S^2=||{\vec{t}}^{(\hat{n})}|{|}^2-T_N^2=t_i^{(\hat{n})}{t}_i^{(\hat{n})}-T_N^2=T_{ij}{T}_{ik}{\hat{n}}_j{\hat{n}}_k-T_N^2$$

代入$T_N=t_i^{(\hat{n})}{\hat{n}}_i=T_{ij}{\hat{n}}_i{\hat{n}}_j$，有：
$$T_S^2=T_1^2{n}_1^2+T_2^2{n}_2^2+T_3^2{n}_3^2-(T_1{\hat{n}}_1^2+T_2{\hat{n}}_2^2+T_3{\hat{n}}_3^2{)}^2$$

现在如果问：${\hat{n}}_i$取什么值才能使得函数$T_S^2$等于最大最小值，这个问题等价于：
$$F(\hat{n})=T_S^2-\mu ({\hat{n}}_i{\hat{n}}_i-1)$$
其中，$\mu$是拉格朗日乘子，约束条件为$\hat{n}\cdot \hat{n}=1$，那么：
$$\frac{\partial F(\hat{n})}{\partial n_j}=0_j;\frac{\partial F(\hat{n})}{\partial \mu }=0$$

解以上方程组，得到：

那么，可能的解如下所示：

前三组解：提供了$T_S$的最小值，为0，正好对应于主方向

(4), (5), (6)这三组解，所表示的平面如下图所示：

对$T_1,T_2,T_3$进行排序，那么，$T_S$可以表示成$T_I,T_{II},T_{III}$的形式：
$$T_{Smax}=\frac{T_I-T_{III}}{2}$$

任意二阶张量的图像表示

如果给定一个二阶张量的笛卡尔分量，那么就可以列出在任意由法向量 $\hat{n}$ 定义的平面上的法向和切向分量 $(T_N,T_S)$

约束条件是：$\hat{n}\cdot \hat{n}={\hat{n}}_1^2+{\hat{n}}_2^2+{\hat{n}}_3^2=1$

可以画出以$T_N$为横坐标，$T_S$为纵坐标的图像

数值过程：
先随机列举几个不同的$\hat{n}$，这样就可以得到不同的$(T_N,T_S)$，把点画在$T_N\times T_S$的图像中

同样，可以建立一个由其对称部分构成的图像： $T_N^{sym}\times T_S^{sym}$

第一个例子：对称的正定张量， $T_N=\hat{n}\cdot T\cdot \hat{n}>0,forall\hat{n}\ne \vec{0}$

可以证明，有三个特征值对应的是$T_S=0$

由下图可以看出，$T_N$的最大最小值对其对称部分的最大最小值

对于切向向量，可以得到以下分解：
$${\vec{T}}_S=[\hat{s}\cdot T\cdot \hat{n}]\hat{s}=[\hat{s}\cdot T^{sym}\cdot \hat{n}+\hat{s}\cdot T^{skew}\cdot \hat{n}]\hat{s}$$

当$\hat{n}$ 是对称部分的其中的一个主方向时，有：

其中$\hat{s}\cdot \hat{n}=0$，因为单位向量$\hat{s}$和$\hat{n}$是正交的

所以，切向分量如下所示：

以上公式仅适用于$\hat{n}$是$T^{sym}$主方向的其中一个

对于特征值$T_I^{sym}=10.55$，对应的特征向量${\hat{n}}_j^{(1)}=[-0.4522937;-0.561517458;0.692913086]$，有：

而对于特征值 $T_{II}^{sym}=3.61$， 有：
s
对于特征值 $T_{III}^{sym}=0.84$， 有：

可以发现，T的最大和最小的法向分量对应的是$T^{sym}$的特征值，

例如，$T_{N_{max}}=T_I^{sym}=10.55$, $T_{N_{min}}=T_{III}^{sym}=0.84$

那么最大的切向分量等于圆的半径，即由 $T_I^{sym}=10.55$ 和 $T_{III}^{sym}=0.84$构成的：
$$T_{S_{max}}^{sym}=\frac{10.55-0.84}{2}=4.86$$

第二个例子：

对称张量有两个相同的特征值，可以验证$(T_N,T_S)$可取的值被限制在以半径$R=\frac{T_I-T_{III}}{2}=2.5$， 以及圆中心为$(T_N=\frac{T_I+T_{III}}{2}=1.5,T_S=0)$上的圆

第三个例子：非对称张量

只有一个实数特征值，为$T_I=-0.964$

在T的对称部分的主方向上，可以列出切向分量的值：

对于特征值 $T_I^{sym}=9.894$，有：

对于特征值 $T_{III}^{sym}=-2.02$， 有：

对称二阶张量的图像表示（莫尔圆）

有：
$$T_S^2+T_N^2={\vec{t}}^{(\hat{n})}\cdot {\vec{t}}^{(\hat{n})}=||{\vec{t}}^{(\hat{n})}|{|}^2$$

主空间的 ${\vec{t}}^{(\hat{n})}=T\cdot \hat{n}$的分量，由下给出：

那么点乘 ${\vec{t}}^{(\hat{n})}\cdot {\vec{t}}^{(\hat{n})}$， 如下所示：

那么：
$$T_S^2+T_N^2=T_I^2{\hat{n}}_1^2+T_{II}^2{\hat{n}}_2^2+T_{III}^2{\hat{n}}_3^2$$

那么，在主空间的法向分量$T_N$，可以写成：
$$T_N={\vec{t}}^{(\hat{n})}\cdot T=T_{ij}{\hat{n}}_i{\hat{n}}_j=T_I{\hat{n}}_1^2+T_{II}{\hat{n}}_2^2+T_{III}{\hat{n}}_1^2$$

考虑约束条件：${\hat{n}}_i{\hat{n}}_i=1⟹{\hat{n}}_1^2=1-{\hat{n}}_2^2-{\hat{n}}_3^2$, 代入到上式，求出${\hat{n}}_2^2$:

${\hat{n}}_1^2=1-{\hat{n}}_2^2-{\hat{n}}_3^2$代入公式：
$$T_S^2+T_N^2=T_I^2{\hat{n}}_1^2+T_{II}^2{\hat{n}}_2^2+T_{III}^2{\hat{n}}_3^2$$

可得：

再代入${\hat{n}}_2^2$，得：

得到${\hat{n}}_3^2$：

所以，也可以用相似得方式求出${\hat{n}}_1^2$ 和 ${\hat{n}}_2^2$, 如下所示：

若$T_I>T_{II}>T_{III}$， (a)和©的分母都为正，那么分子也为正；(b)分母为负，那么分子也必须为负

例如：

经过代数变换：

以上的等式表示是圆

第一个圆

中心：$(\frac{1}{2}(T_{II}+T_{III}),0)$
半径： $\frac{1}{2}(T_{II}-T_{III})$

第一个可行域是在圆 $C_1$之外：

第二个圆

中心：$(\frac{1}{2}(T_I+T_{III}),0)$
半径： $\frac{1}{2}(T_I-T_{III})$

第二个可行域是在圆 $C_2$之内：

第三个圆

中心：$(\frac{1}{2}(T_I+T_{II}),0)$
半径： $\frac{1}{2}(T_I-T_{II})$

第三个可行域是在圆 $C_3$之外：

所以，可行域如下所示：

在莫尔圆中，最大值$T_{S_{max}}$的解：

张量椭球

对称二阶张量T在主空间的特征值 $(T_1,T_2,T_3)$ ， 满足以下：

现在，在主空间定义一个曲面，这个曲面可以描述 $\hat{n}$ 的所有可能值得向量 ${\vec{t}}^{(\hat{n})}$

由约束条件： ${\hat{n}}_1^2+{\hat{n}}_2^2+{\hat{n}}_3^2=1$, 有：

这个表示得是一个在T主空间得椭球。如下所示

椭球表面表示的是$t_1,t_2,t_3$的可能取值

当两个特征值相等，那么就会得到一个旋转的椭球

当三个特征值相等，那么得到一个球， 此时表现出这种性质的张量被称为球面张量，任意方向都是主方向

球面张量和偏张量的图像表示

八面体向量

八面体平面，又称作偏平面，在这个平面上的法向与主方向的夹角都相等

${\hat{n}}_1={\hat{n}}_2={\hat{n}}_3$, 有： $3{\hat{n}}_1^2=1$ , 所以：
$${\hat{n}}_i=[\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{3}}]$$

二阶张量投影到一个八面体平面得到的向量，标记为八面体向量 ${\vec{t}}^{(\hat{n})}$， 可以分解为法向分量和切向分量，

定义法向八面体向量 ${\vec{T}}_N^{oct}$， 切向八面体向量 ${\vec{T}}_S^{oct}$

八面体向量可以表示成：

那么，${\vec{T}}_N^{oct}$ 的大小可以用 ${\vec{T}}_N^{oct}$投影到 $\hat{n}$来表示：

其中 $T_N^{oct}$称为 八面体法向分量

那么，八面体切向分量 $T_S^{oct}$，如下所示：

以上式子同样可以表示成：

或者表示偏张量：

总结：

八面体法向和切向分量是8个八面体平面：

在主空间表示点$P(T_1,T_2,T_3)$，如下所示：

任意与直线 $\overline{OA}$ 垂直的平面是八面体的（偏的），并且经过原点的八面体平面为$\Pi$, 最后，直线 $\overline{OA}$ 被称为球轴（净水轴）

考虑一个偏平面穿过点P，标记为${\Pi }^{\prime }$， 定义三个向量 $\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OA},\overrightarrow{AP}$

$\overrightarrow{OP}$ 可以表示成T的主值：
$$\overrightarrow{OP}=T_1{\hat{e}}_1^{\prime }+T_2{\hat{e}}_2^{\prime }+T_3{\hat{e}}_3^{\prime }$$

根据上面的图像， $\overrightarrow{OA}$ 的大小表示为：

$$\boxed{p=\sqrt{3}{T}_m=\sqrt{3}{T}_N^{oct}}$$

因此，向量 $\overrightarrow{OA}$ 表示为：

那么就可以求出 $\overrightarrow{AP}$:
$$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$$
由于：
$$\overrightarrow{OP}=T_1{\hat{e}}_1^{\prime }+T_2{\hat{e}}_2^{\prime }+T_3{\hat{e}}_3^{\prime }$$
所以，有：

利用定义 $T_{ij}^{dev}=T_{ij}-T_m{\delta }_{ij}$，有：

AP的分量表示的是主值的偏部分$T_{ij}^{dev}$

$\overrightarrow{AP}$的大小为：

考虑 $2I{I}_{T^{dev}}=-(T_1^{dev}{)}^2-(T_2^{dev}{)}^2-(T_3^{dev}{)}^2$

有：
$$\boxed{q=\sqrt{-2I{I}_{T^{dev}}}=\sqrt{3}{T}_S^{oct}}$$

根据毕达哥拉斯定理，也可以得到：

q: 表示张量状态距离球面状态的距离

考虑将主空间投影到 $\Pi$ 平面

单位向量 ${\hat{e}}_1^{\prime \prime }=a_1{\hat{e}}_1^{\prime }+a_2{\hat{e}}_2^{\prime }+a_3{\hat{e}}_3^{\prime }$
其中： $\cos \beta =\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=a_1$, $a_2=a_3$

如果净水轴与偏平面是正交的，那么：

解得：

因此：

那么，$\overrightarrow{OP}$ 在 ${\hat{e}}_1^{\prime \prime }$ 的投影如下所示：

如果考虑 $T_1^{dev}+T_2^{dev}+T_3^{dev}=0$ , 那么 $-T_1^{dev}=T_2^{dev}+T_3^{dev}$, 则上式变为：

由于 $q=\sqrt{-2I{I}_{T^{dev}}}$, 有：

同样地，可以求出 $T_2^{dev}$ 和 $T_3^{dev}$

那么，可以将主值表示为， $T_{ij}=T_m{\delta }_{ij}+T_{ij}^{dev}$

其中 $0\le \theta \le \pi /3$

所以，张量可以表示成 $(p,q,\theta )$

由于：

且有： $\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$， 代入可得：

并且有： $I{I}_{T^{dev}}=(T_1^{dev}{T}_2^{dev}+T_2^{dev}{T}_3^{dev}+T_1^{dev}{T}_3^{dev})$

那么：

由于 $I{I}_{T^{dev}}$ 和 $II{I}_{T^{dev}}$是不变量，所以 $\cos 3\theta$也是不变量

参考教材：
Eduardo W.V. Chaves， Notes On Continuum Mechanics