一、信息滤波

1、模型

函数模型
$$\{\begin{array}{l}{\mathbf{X}}_k={\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}{\mathbf{X}}_{k-1}+{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}{\mathbf{W}}_{k-1}\\ {\mathbf{Z}}_k={\mathbf{H}}_k{\mathbf{X}}_k+{\mathbf{V}}_k\end{array}$$
随机模型
$$\{\begin{array}{lr}\mathrm{E}\left[{\mathbf{W}}_k\right]=0,& \mathrm{E}\left[{\mathbf{W}}_k{\mathbf{W}}_j^{\mathrm{T}}\right]={\mathbf{Q}}_k{\delta }_{kj}\\ \mathrm{E}\left[{\mathbf{V}}_k\right]=0,& \mathrm{E}\left[{\mathbf{V}}_k{\mathbf{V}}_j^{\mathrm{T}}\right]={\mathbf{R}}_k{\delta }_{kj}\\ \mathrm{E}\left[{\mathbf{W}}_k{\mathbf{V}}_j^{\mathrm{T}}\right]=0& \end{array}$$

选择合适的系统噪声分配矩阵 ${\mathbf{\Gamma }}_k$，总可以保证系统噪声方差阵正定，${\mathbf{Q}}_k>0$

"信息"的含义：信息和方差是互逆的，即 $I_k=p_k^{-1}$ ；估计越准，方差越小，信息量越大：
$$\begin{array}{l}{\mathbf{P}}_k=\mathrm{E}\left[\left({\mathbf{X}}_k-{\hat{\mathbf{X}}}_k\right){\left({\mathbf{X}}_k-{\hat{\mathbf{X}}}_k\right)}^{\mathrm{T}}\right]\\ {\hat{\mathbf{X}}}_k-{\mathbf{X}}_k\to 0，{\mathbf{P}}_k\to 0\left({\mathbf{P}}_k^{-1}\to \infty \right)\\ {\hat{\mathbf{X}}}_k-{\mathbf{X}}_k\to \infty ，{\mathbf{P}}_k\to \infty \left({\mathbf{P}}_k^{-1}\to 0\right)\end{array}$$
用 $I_k$ 替换原始Kalman滤波中的 $p_k^{-1}$ ，得信息滤波：
$$\mathrm{KF}\{\begin{array}{l}{\mathbf{P}}_{k/k-1}={\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}{\mathbf{P}}_{k-1}{\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}{\mathbf{Q}}_{k-1}{\mathbf{F}}_{k-1}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{P}}_k=\left(\mathbf{I}-{\mathbf{K}}_k{\mathbf{H}}_k\right){\mathbf{P}}_{k/k-1}\\ {\mathbf{K}}_k={\mathbf{P}}_{k/k-1}{\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}{\left({\mathbf{H}}_k{\mathbf{P}}_{k/k-1}{\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}+{\mathbf{R}}_k\right)}^{-1}\\ {\hat{\mathbf{X}}}_{k/k-1}={\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}{\hat{\mathbf{X}}}_{k-1}\\ {\hat{\mathbf{X}}}_k={\hat{\mathbf{X}}}_{k/k-1}+{\mathbf{K}}_k\left({\mathbf{Z}}_k-{\mathbf{H}}_k{\hat{\mathbf{X}}}_{k/k-1}\right)\end{array}⟹\mathrm{IKF}\{\begin{array}{l}{\mathbf{I}}_{k/k-1}={\left({\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}{\mathbf{I}}_{k-1}^{-1}{\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}{\mathbf{Q}}_{k-1}{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}^{\mathrm{T}}\right)}^{-1}\\ {\mathbf{I}}_k={\mathbf{I}}_{k/k-1}+{\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_k^{-1}{\mathbf{H}}_k\\ {\mathbf{K}}_k={\mathbf{I}}_k^{-1}{\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_k^{-1}\\ {\hat{\mathbf{X}}}_{k/k-1}={\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}{\hat{\mathbf{X}}}_{k-1}\\ {\hat{\mathbf{X}}}_k={\hat{\mathbf{X}}}_{k/k-1}+{\mathbf{K}}_k\left({\mathbf{Z}}_k-{\mathbf{H}}_k{\hat{\mathbf{X}}}_{k/k-1}\right)\end{array}$$

两个问题：

• 右边公式缺点是相比左边公式求逆公式更多。
• 滤波开始时，对初始参数 $X_0$ 的状态一无所知，方差 $P_0$ 应该取无穷大，无穷大不好表示，且无穷大分之一等于 $0$ ，两边的公式都无法执行。

2、信息滤波公式改写

针对这种情况对右边的公式修改：

信息预测改写

提取出 $M_{k-1}$ ，红色部分用矩阵求逆引理得：

$$\begin{array}{l}{\left(A_{11}-A_{12}{A}_{22}^{-1}{A}_{21}\right)}^{-1}=A_{11}^{-1}+A_{11}^{-1}{A}_{12}{\left(A_{22}-A_{21}{A}_{11}^{-1}{A}_{12}\right)}^{-1}{A}_{21}{A}_{11}^{-1}\\ =\left[I+A_{11}^{-1}{A}_{12}{\left(A_{22}-A_{21}{A}_{11}^{-1}{A}_{12}\right)}^{-1}{A}_{21}\right]A_{11}^{-1}\end{array}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}{\mathbf{I}}_{k/k-1}& ={\left({\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}{\mathbf{I}}_{k-1}^{-1}{\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}{\mathbf{Q}}_{k-1}{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}^{\mathrm{T}}\right)}^{-1}{\mathbf{M}}_{k-1}={\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}^{-\mathrm{T}}{\mathbf{I}}_{k-1}{\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}^{-1}\\ & ={\left(\mathbf{I}+{\mathbf{M}}_{k-1}{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}{\mathbf{Q}}_{k-1}{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}^{\mathrm{T}}\right)}^{-1}{\mathbf{M}}_{k-1} \\ =[I-{\mathbf{M}}_{\mathbf{k}-1}{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}{\left({\mathbf{Q}}_{k-1}^{-1}+{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}^{\mathrm{T}}{\mathbf{M}}_{k-1}{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}\right)}^{-1}{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}^{\mathrm{T}}]{\mathbf{M}}_{k-1}\\ & =\left(\mathbf{I}-{\hat{N}}_{k-1}\right){\mathbf{M}}_{k-1}\end{array} \end{gathered}$$

信息矩阵的更新就无需求逆了。

量测更新改写

将卡尔曼滤波量测更新改写为预测和量测加权平均的形式：
$$\begin{array}{rl}{\hat{\mathbf{X}}}_k& ={\hat{\mathbf{X}}}_{k/k-1}+{\mathbf{K}}_k\left({\mathbf{Z}}_k-{\mathbf{H}}_k{\hat{\mathbf{X}}}_{k/k-1}\right)\\ & =\left(\mathbf{I}-{\mathbf{K}}_k{\mathbf{H}}_k\right){\hat{\mathbf{X}}}_{k/k-1}+{\mathbf{K}}_k{\mathbf{Z}}_k\\ & ={\mathbf{P}}_k{\mathbf{P}}_{k/k-1}^{-1}{\hat{\mathbf{X}}}_{k/k-1}+{\mathbf{P}}_k{\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_k^{-1}{\mathbf{Z}}_k\end{array}$$
两边除以 $P_k$ 得：
$${\mathbf{P}}_k^{-1}{\hat{\mathbf{X}}}_k={\mathbf{P}}_{k/k-1}^{-1}{\hat{\mathbf{X}}}_{k/k-1}+{\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_k^{-1}{\mathbf{Z}}_k$$
用 $I_k$ 替换 $p_k^{-1}$ ，将 ${\mathbf{I}}_k{\hat{\mathbf{X}}}_k$ 记为 ${\hat{\mathbf{S}}}_k$，得：
$${\hat{\mathbf{S}}}_k={\mathbf{I}}_k{\hat{\mathbf{X}}}_k={\mathbf{I}}_{k/k-1}{\hat{\mathbf{X}}}_{k/k-1}+{\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_k^{-1}{\mathbf{Z}}_k={\hat{\mathbf{S}}}_{k/k-1}+{\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_k^{-1}{\mathbf{Z}}_k$$
$S_{k-1}$ 到 $S_k$ 的递推为：
$$\begin{array}{l}{\hat{\mathbf{S}}}_{k/k-1}={\mathbf{I}}_{k/k-1}{\hat{\mathbf{X}}}_{k/k-1}=\left(\mathbf{I}-{\mathbf{N}}_{k-1}\right){\mathbf{M}}_{k-1}{\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}{\hat{\mathbf{X}}}_{k-1}\\ =\left(\mathbf{I}-{\mathbf{N}}_{k-1}\right){\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}^{-\mathrm{T}}{\mathbf{I}}_{k-1}{\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}^{-1}{\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}{\hat{\mathbf{X}}}_{k-1}=\left(\mathbf{I}-{\mathbf{N}}_{k-1}\right){\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}^{-\mathrm{T}}{\hat{\mathbf{S}}}_{k-1}\end{array}$$

3、IKF公式汇总

滤波流程转换成了 $S$ 和 $I$ 的递推：${\hat{\mathbf{S}}}_{k-1},{\mathbf{I}}_{k-1},{\mathbf{Z}}_k⟶{\hat{\mathbf{S}}}_k,{\mathbf{I}}_k$
$$\{\begin{array}{l}{\mathbf{I}}_{k/k-1}={\left({\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}{\mathbf{I}}_{k-1}^{-1}{\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}{\mathbf{Q}}_{k-1}{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}^{\mathrm{T}}\right)}^{-1}\\ {\mathbf{I}}_k={\mathbf{I}}_{k/k-1}+{\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_k^{-1}{\mathbf{H}}_k\\ {\mathbf{K}}_k={\mathbf{I}}_k^{-1}{\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_k^{-1}\\ {\hat{\mathbf{X}}}_{k/k-1}={\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}{\hat{\mathbf{X}}}_{k-1}\\ {\hat{\mathbf{X}}}_{k-1}={\hat{\mathbf{X}}}_{k/k-1}+{\mathbf{K}}_k\left({\mathbf{Z}}_k-{\mathbf{H}}_k{\hat{\mathbf{X}}}_{k/k-1}\right)\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{\mathbf{M}}_{k-1}={\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}^{-\mathrm{T}}{\mathbf{I}}_{k-1}{\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}^{-1}\\ {\mathbf{N}}_{k-1}={\mathbf{M}}_{k-1}{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}{\left({\mathbf{\Gamma }}_{k-1}^{\mathrm{T}}{\mathbf{M}}_{k-1}{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}+{\mathbf{Q}}_{k-1}^{-1}\right)}^{-1}{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}^{\mathrm{T}})\\ {\mathbf{I}}_{k/k-1}=\left(\mathbf{I}-{\mathbf{N}}_{k-1}\right){\mathbf{M}}_{k-1}\\ {\mathbf{I}}_k={\mathbf{I}}_{k/k-1}+{\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_k^{-1}{\mathbf{H}}_k\\ {\hat{\mathbf{S}}}_{k/k-1}=\left(\mathbf{I}-{\mathbf{N}}_{k-1}\right){\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}^{-\mathrm{T}}{\hat{\mathbf{S}}}_{k-1}\\ {\hat{\mathbf{S}}}_k={\hat{\mathbf{S}}}_{k/k-1}+{\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_k^{-1}{\mathbf{Z}}_k\end{array}$$

• $I_0=0$ 可以实现计算了，解决了初始方差阵无穷大的问题。
• 矩阵求逆也变少了，状态转移矩阵的求逆可以认为没有：$\varphi =I+F{T}_S⟹{\varphi }^{-1}=I-F{T}_S$
• 最终输出：$\{\begin{array}{l}{\mathbf{I}}_k={\mathbf{P}}_k^{-1}\\ {\hat{\mathbf{S}}}_k={\mathbf{I}}_k{\hat{\mathbf{X}}}_k\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\mathbf{P}}_k={\mathbf{I}}_k^{-1}\\ {\hat{\mathbf{X}}}_k={\mathbf{P}}_k{\hat{\mathbf{S}}}_k\end{array}$，在前几次滤波递推中，可能 $I_k$ 不可逆，得不到均值方差。

4、KF与IKF的对偶关系

$$\begin{array}{l}\mathrm{KF}:\{\begin{array}{l}{\mathbf{P}}_{k/k-1}={\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}{\mathbf{P}}_{k-1}{\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}{\mathbf{Q}}_{k-1}{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{P}}_k=\left[\mathbf{I}-{\mathbf{P}}_{k/k-1}{\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}{\left({\mathbf{H}}_k{\mathbf{P}}_{k/k-1}{\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}+{\mathbf{R}}_k\right)}^{-1}{\mathbf{H}}_k\right]{\mathbf{P}}_{k/k-1}\end{array}\\ \text{ IKF }:\{\begin{array}{l}{\mathbf{I}}_{k/k-1}=\left[\mathbf{I}-{\mathbf{M}}_{k-1}{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}{\left({\mathbf{\Gamma }}_{k-1}^{\mathrm{T}}{\mathbf{M}}_{k-1}{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}+{\mathbf{Q}}_{k-1}^{-1}\right)}^{-1}{\mathbf{\Gamma }}_{k-1}^{\mathrm{T}}\right]{\mathbf{M}}_{k-1}\\ {\mathbf{I}}_{k=}={\mathbf{I}}_{k/k-1}+{\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_k^{-1}{\mathbf{H}}_k\end{array}\end{array}$$

• KF时间更新使状态估计误差增大，IKF量测更新使信息量增大；
• KF量测更新使状态估计误差减小，IKF时间更新使信息量减小；
• 系统噪声使状态估计误差增大，使状态估计信息量减小；
• 量测噪声使状态估计误差减小，使状态估计信息量增大。

二、信息融合

1、信息融合方法

可以看成特殊 N 组量测最小二乘问题，H是单位阵，从很多方面对参数进行量测，每一个量测有一个噪声，所有噪声之间不相关。需要将这些信息融合，得到最优的参数估计。
$$\{\begin{array}{lrr}{\mathbf{X}}^{(1)}=\mathbf{X}+{\mathbf{V}}_1& & \\ {\mathbf{X}}^{(2)}=\mathbf{X}+{\mathbf{V}}_2& \mathrm{E}\left[{\mathbf{V}}_i\right]=0,& \mathrm{E}\left[{\mathbf{V}}_i{\mathbf{V}}_j^{\mathrm{T}}\right]={\mathbf{P}}_i{\delta }_{ij}(i,j=1,2,\cdots ,N)\\ ⋮& & {\mathbf{P}}_i>0i,j\text{ 表示信息来源/渠道 }\\ {\mathbf{X}}^{(N)}=\mathbf{X}+{\mathbf{V}}_N& & \end{array}$$
可以用递推最小二乘RLS解决，也可以用信息递推最小二乘IRLS解决：
$$\begin{array}{l}\mathrm{RLS}\{\begin{array}{l}{\mathbf{P}}_k^{-1}={\mathbf{P}}_{k-1}^{-1}+{\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_k^{-1}{\mathbf{H}}_k\\ {\mathbf{P}}_k^{-1}{\hat{\mathbf{X}}}_k={\mathbf{P}}_{k-1}^{-1}{\hat{\mathbf{X}}}_{k-1}+{\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_k^{-1}{\mathbf{Z}}_k\end{array}\\ \text{ IRLS }\{\begin{array}{l}{\mathbf{I}}_k={\mathbf{I}}_{k-1}+{\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_k^{-1}{\mathbf{H}}_k\\ {\hat{\mathbf{S}}}_k={\hat{\mathbf{S}}}_{k-1}+{\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_k^{-1}{\mathbf{Z}}_k\end{array}\end{array}$$
一直往前递推，得到总/全局信息量级状态估计：
$$\begin{array}{rlrl}{\mathbf{I}}_g& ={\mathbf{I}}_{N-1}+{\mathbf{P}}_N^{-1}& {\hat{\mathbf{S}}}_g& ={\hat{\mathbf{S}}}_{N-1}+{\mathbf{P}}_N^{-1}{\hat{\mathbf{X}}}^{(N)}\\ & =\left({\mathbf{I}}_{N-2}+{\mathbf{P}}_{N-1}^{-1}\right)+{\mathbf{P}}_N^{-1}& & =\left({\hat{\mathbf{S}}}_{N-2}+{\mathbf{P}}_{N-1}^{-1}{\hat{\mathbf{X}}}^{(N-1)}\right)+{\mathbf{P}}_N^{-1}{\hat{\mathbf{X}}}^{(N)}\\ & =\cdots & & \cdots \\ & =\left({\mathbf{I}}_1+{\mathbf{P}}_2^{-1}\right)+\cdots +{\mathbf{P}}_{N-1}^{-1}+{\mathbf{P}}_N^{-1}& & =\left({\hat{\mathbf{S}}}_1+{\mathbf{P}}_2^{-1}{\hat{\mathbf{X}}}^{(2)}\right)+\cdots +{\mathbf{P}}_{N-1}^{-1}{\hat{\mathbf{X}}}^{(N-1)}+{\mathbf{P}}_N^{-1}{\hat{\mathbf{X}}}^{(N)}\\ & ={\mathbf{P}}_1^{-1}+{\mathbf{P}}_2^{-1}+\cdots +{\mathbf{P}}_{N-1}^{-1}+{\mathbf{P}}_N^{-1}& & ={\mathbf{P}}_1^{-1}{\hat{\mathbf{X}}}^{(1)}+{\mathbf{P}}_2^{-1}{\hat{\mathbf{X}}}^{(2)}+\cdots +{\mathbf{P}}_{N-1}^{-1}{\hat{\mathbf{X}}}^{(N-1)}+{\mathbf{P}}_N^{-1}{\hat{\mathbf{X}}}^{(N)}\end{array}$$
即信息融合公式：
$$\begin{array}{l}{\mathbf{I}}_g={\mathbf{P}}_1^{-1}+{\mathbf{P}}_2^{-1}+\cdots +{\mathbf{P}}_{N-1}^{-1}+{\mathbf{P}}_N^{-1}\\ {\hat{\mathbf{S}}}_g={\mathbf{P}}_1^{-1}{\hat{\mathbf{X}}}^{(1)}+{\mathbf{P}}_2^{-1}{\hat{\mathbf{X}}}^{(2)}+\cdots +{\mathbf{P}}_{N-1}^{-1}{\hat{\mathbf{X}}}^{(N-1)}+{\mathbf{P}}_N^{-1}{\hat{\mathbf{X}}}^{(N)}\\ ⟹\{\begin{array}{l}{\mathbf{P}}_g^{-1}={\sum }_{k=1}^N{\mathbf{P}}_k^{-1}\\ {\mathbf{P}}_g^{-1}{\hat{\mathbf{X}}}_g={\sum }_{k=1}^N{\mathbf{P}}_k^{-1}{\hat{\mathbf{X}}}^{(k)}\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{\mathbf{P}}_g={\left({\sum }_{k=1}^N{\mathbf{P}}_k^{-1}\right)}^{-1}\\ {\hat{\mathbf{X}}}_g={\mathbf{P}}_g{\sum }_{k=1}^N{\mathbf{P}}_k^{-1}{\hat{\mathbf{X}}}^{(k)}\end{array}\end{array}$$
本质上就是加权平均，特别的，当 $N=2$ 时有
$$\begin{array}{l}{\mathbf{P}}_{\text{fusion }}={\left({\mathbf{P}}_1^{-1}+{\mathbf{P}}_2^{-1}\right)}^{-1}\\ {\hat{\mathbf{X}}}_{\text{fusion }}={\mathbf{P}}_g\left({\mathbf{P}}_1^{-1}{\mathbf{X}}^{(1)}+{\mathbf{P}}_2^{-1}{\mathbf{X}}^{(2)}\right)=\frac{{\mathbf{P}}_2}{{\mathbf{P}}_1+{\mathbf{P}}_2}{\mathbf{X}}^{(1)}+\frac{{\mathbf{P}}_1}{{\mathbf{P}}_1+{\mathbf{P}}_2}{\mathbf{X}}^{(2)}\end{array}$$

2、信息融合推导Kalman滤波

状态估计融合
$$\begin{array}{rl}{\hat{\mathbf{X}}}_k& =\frac{{\left({\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_k^{-1}{\mathbf{H}}_k\right)}^{-1}}{{\mathbf{P}}_{k/k-1}+{\left({\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_k^{-1}{\mathbf{H}}_k\right)}^{-1}}\underline{{\mathbf{\Phi }}_{k/k-1}}{\hat{\mathbf{X}}}_{k-1}+\frac{{\mathbf{P}}_{k/k-1}}{{\mathbf{P}}_{k/k-1}+{\left({\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_k^{-1}{\mathbf{H}}_k\right)}^{-1}}\underline{{\left({\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_k^{-1}{\mathbf{H}}_k\right)}^{-1}{\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_k^{-1}{\mathbf{Z}}_k}\end{array}$$
均方差阵融合
$${\mathbf{P}}_k={\left[{\mathbf{P}}_{k/k-1}^{-1}+{\left({\mathbf{P}}_k^{\prime }\right)}^{-1}\right]}^{-1}={\left({\mathbf{P}}_{k/k-1}^{-1}+{\mathbf{H}}_k^{\mathrm{T}}{\mathbf{R}}_k^{-1}{\mathbf{H}}_k\right)}^{-1}$$