LeetCode416. 分割等和子集
背包问题，有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。背包问题有多种背包方式，常见的有：01背包、完全背包、多重背包、分组背包和混合背包等等。要注意题目描述中商品是不是可以重复放入。即一个商品如果可以重复多次放入是完全背包，而只能放入一次是01背包，写法还是不一样的。要明确本题中我们要使用的是01背包，因为元素我们只能用一次。回归主题：首先，本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。那么来一一对应一下本题，看看背包问题如何来解决。
只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。
- 背包的体积为sum / 2
- 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
- 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
- 背包中每一个元素是不可重复放入。
动态规划五部曲：
1，确定dp数组以及下标的含义：01背包中，dp[j] 表示： 容量为j的背包，所背的物品价值最大可以为dp[j]。本题中每一个元素的数值既是重量，也是价值。套到本题，dp[j]表示 背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]。那么如果背包容量为target， dp[target]就是装满 背包之后的重量，所以 当 dp[target] == target 的时候，背包就装满了。那还有装不满的时候？拿输入数组 [1, 5, 11, 5]，举例， dp[7] 只能等于 6，因为 只能放进 1 和 5。而dp[6] 就可以等于6了，放进1 和 5，那么dp[6] == 6，说明背包装满了。
2，确定递推公式：01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。所以递推公式：
dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
3，dp数组如何初始化：在01背包，一维dp如何初始化，已经讲过，从dp[j]的定义来看，首先dp[0]一定是0。如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。这样才能让dp数组在递推的过程中取得最大的价值，而不是被初始值覆盖了。本题题目中 只包含正整数的非空数组，所以非0下标的元素初始化为0就可以了。代码如下：
// 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
// 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
vector<int> dp(10001, 0);4，确定遍历顺序：
在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中就已经说明：如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！
代码如下：
// 开始 01背包
for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
}
}5，举例推导dp数组：dp[j]的数值一定是小于等于j的。如果dp[j] == j 说明，集合中的子集总和正好可以凑成总和j，理解这一点很重要。用例1，输入[1,5,11,5] 为例，如图：
最后dp[11] == 11，说明可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
Java代码如下：
public boolean canPartition(int[] nums) {
if(nums == null || nums.length == 0) return false;
int n = nums.length;
int sum = 0;
for(int num : nums) {
sum += num;
}
if(sum % 2 != 0) return false;
int target = sum / 2;
int[] dp = new int[target + 1];
for(int i = 0; i < n; i++) {
for(int j = target; j >= nums[i]; j--) {
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-nums[i]] + nums[i]);
}
}
return dp[target] == target;
}
