LeetCode343. 整数拆分

动态规划五部曲：

1，确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。

2，确定递推公式：可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i]。一个是j * (i - j) 直接相乘。一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)。是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));也可以这么理解，j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上了。

        所以递推公式：dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});

那么在取最大值的时候，为什么还要比较dp[i]呢？因为在递推公式推导的过程中，每次计算dp[i]，取最大的而已。

3，dp的初始化：不少同学应该疑惑，dp[0] dp[1]应该初始化多少呢？有的题解里会给出dp[0] = 1，dp[1] = 1的初始化，但解释比较牵强，主要还是因为这么初始化可以把题目过了。严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值。拆分0和拆分1的最大乘积是多少？这是无解的。这里我只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议！

4，确定遍历顺序：确定遍历顺序，先来看看递归公式：

        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。

所以遍历顺序为：

for (int i = 3; i <= n ; i++) {
    for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
    }
}

注意 枚举j的时候，是从1开始的。从0开始的话，那么让拆分一个数拆个0，求最大乘积就没有意义了。j的结束条件是 j < i - 1 ，其实 j < i 也是可以的，不过可以节省一步，例如让j = i - 1，的话，其实在 j = 1的时候，这一步就已经拆出来了，重复计算，所以 j < i - 1，至于 i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。

更优化一步，可以这样：

for (int i = 3; i <= n ; i++) {
    for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
    }
}

因为拆分一个数n 使之乘积最大，那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的。例如 6 拆成 3 * 3， 10 拆成 3 * 3 * 4。 100的话 也是拆成m个近似数组的子数 相乘才是最大的。只不过我们不知道m究竟是多少而已，但可以明确的是m一定大于等于2，既然m大于等于2，也就是 最差也应该是拆成两个相同的 可能是最大值。那么 j 遍历，只需要遍历到 n/2 就可以，后面就没有必要遍历了，一定不是最大值。

5，举例推导dp数组：举例当n为10 的时候，dp数组里的数值，如下：

 Java代码如下：

public int integerBreak(int n) {
        if(n <= 3) return 1 * (n - 1);
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        dp[3] = 3;
        for(int i = 4; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= i / 2; j++) {
                dp[i] = Math.max(dp[i] , dp[i - j] * dp[j]);
            }
        }
        return dp[n];
    }

LeetCode96.不同的二叉搜索树

动态规划五部曲：

1，确定dp数组（dp table）以及下标的含义：

        dp[i] ： 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。

也可以理解是i个不同元素节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i] ，都是一样的。

2，确定递推公式：在上面的分析中，其实已经看出其递推关系， dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]，j相当于是头结点的元素，从1遍历到i为止。所以递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ，j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量。

3，dp数组如何初始化：初始化，只需要初始化dp[0]就可以了，推导的基础，都是dp[0]。那么dp[0]应该是多少呢？从定义上来讲，空节点也是一棵二叉树，也是一棵二叉搜索树，这是可以说得通的。从递归公式上来讲，dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] 中以j为头结点左子树节点数量为0，也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1， 否则乘法的结果就都变成0了。所以初始化dp[0] = 1。

4，确定遍历顺序：首先一定是遍历节点数，从递归公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历。代码如下：

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= i; j++) {
        dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
    }
}

5，举例推导dp数组：n为5时候的dp数组状态如图：

 Java代码如下：

    public int numTrees(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }