变量说明：
- C C C ：每期投入的现金流
- r r r：利率（收益率/贴现率）
- n n n ：计息期数；
- F V FV FV：终值
- P V PV PV：现值
推导计算过程用到等比数列求和公式 S n = a 1 ∗ 1 − q n 1 − q S_n=a_1*\frac{1-q^n}{1-q} Sn=a1∗1−q1−qn
年金分类
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期初与期末的现值与终值（每期投入现金 C C C 不变）
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期末年金/普通年金/后付年金
- （期末）年金现值
P V = ∑ i = 1 n C ( 1 + r ) i = C ∗ 1 − ( 1 + r ) − n r PV=\sum_{i=1}^n {\frac C{(1+r)^i}}=C* \frac {1-(1+r)^{-n}} {r} PV=i=1∑n(1+r)iC=C∗r1−(1+r)−n
1 − ( 1 + r ) − n r 代表年金现值系数 \frac {1-(1+r)^{-n}} {r} 代表年金现值系数 r1−(1+r)−n代表年金现值系数
（图片现值对应起点是0，由于是期末所以端点是1到n，看从端点到起点的距离）
- （期末）年金终值
F V = ∑ i = 0 n − 1 C ∗ ( 1 + r ) i = C ∗ ( 1 + r ) n − 1 r FV=\sum_{i=0}^{n-1} { C*(1+r)^i}=C* \frac {(1+r)^{n}-1} {r} FV=i=0∑n−1C∗(1+r)i=C∗r(1+r)n−1
( 1 + r ) n − 1 r 代表年金终值系数 \frac {(1+r)^{n}-1} {r} 代表年金终值系数 r(1+r)n−1代表年金终值系数
（图片终值对应终点是n，由于是期末所以端点是1到n，看从端点到终点的距离）
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期初年金/预付年金/先付年金
期初年金现值 = 期末年金现值 * (1+r)
期初年金终值 = 期末年金终值 * (1+r)
即：期初是期末的 1+r 倍，所以只需要求期末即可。
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永续年金
- 有现值，没终值，其实就是n趋近于无穷
- （期末）永续年金现值：PV = C / r （n趋近于无穷，现值有极限，终值没有极限）
- 有现值，没终值，其实就是n趋近于无穷
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增长型年金（每期投入现金 C C C 的固定增长率为 g g g）
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普通增长型年金
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（期末）年金现值
- 当r ≠ g时
P V = ∑ i = 1 n C ∗ ( 1 + g ) i − 1 ( 1 + r ) i = C ∗ 1 − ( 1 + g 1 + r ) n r − g PV=\sum_{i=1}^n {\frac {C*(1+g)^{i-1}}{(1+r)^i}}=C* \frac {1-(\frac{1+g}{1+r})^n} {r-g} PV=i=1∑n(1+r)iC∗(1+g)i−1=C∗r−g1−(1+r1+g)n
- 当r = g时
P V = ∑ i = 1 n C ∗ ( 1 + g ) i − 1 ( 1 + r ) i = C ∗ n 1 + r PV=\sum_{i=1}^n {\frac {C*(1+g)^{i-1}}{(1+r)^i}}=C* \frac {n} {1+r} PV=i=1∑n(1+r)iC∗(1+g)i−1=C∗1+rn
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（期末）年金终值
- 当r ≠ g时
F V = ∑ i = 0 n − 1 C ∗ ( 1 + g ) i ( 1 + r ) n − 1 − i = C ∗ ( 1 + r ) n ∗ 1 − ( 1 + g 1 + r ) n r − g FV=\sum_{i=0}^{n-1} {\frac {C*(1+g)^{i}}{(1+r)^{n-1-i}}}=C*(1+r)^n* \frac {1-(\frac{1+g}{1+r})^n} {r-g} FV=i=0∑n−1(1+r)n−1−iC∗(1+g)i=C∗(1+r)n∗r−g1−(1+r1+g)n
- 当r = g时
F V = ∑ i = 0 n − 1 C ∗ ( 1 + g ) i ( 1 + r ) n − 1 − i = C ∗ [ n ∗ ( 1 + r ) n − 1 ] FV=\sum_{i=0}^{n-1} {\frac {C*(1+g)^{i}}{(1+r)^{n-1-i}}}=C*[n*(1+r)^{n-1}] FV=i=0∑n−1(1+r)n−1−iC∗(1+g)i=C∗[n∗(1+r)n−1]
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增长型永续年金
- （期末）增长型永续年金现值：PV = C / (r - g) （n趋近于无穷求得的极限）
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