牛客练习赛106

news2024/11/13 23:26:49

牛客练习赛106

染色法判断二分图
结论，这个图是二分图说明不存在奇环
设左边是x，右边是y
则有 $x + y = n,$ 且 $x * y > = 边数 = n * (n - 1) / 2 - m$
也就是说左式最大是 $n * n / 4 (x = n / 2, y = n / 2)$
$带入 m 最大是 2 e 5 得到 n < = 896$
当n大于896或者最大交集数小于边数的话直接可以判断不是二分图
当n小于896时可以O(n+m)染色法判断是否是二分图

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=2e5+10,M=2*N;
int T,n,m;
int a[1010][1010],c[1010];
int vis[1010];
int dfs(int u,int c=1){
    vis[u]=c;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(a[i][u]||i==u)continue;
        if(vis[i]&&vis[i]!=3-c)return 0;
        if(vis[i]==0&&!dfs(i,3-c))return 0;
    }
    return 1;
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>T;
    while(T--){
        cin>>n>>m;
        if(n<896)memset(a,0,sizeof a);
        for(int i=1;i<=m;i++){
            int x,y;
            cin>>x>>y;
            if(n<896)a[x][y]=a[y][x]=1;
        }
        if(n*n/4-n/2>m || n>=896){cout<<"YES"<<'\n';continue;}
        memset(vis,0,sizeof vis);
//         cout<<"ans="<<dfs(1)<<'\n';
        int ok=1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(!vis[i]){
                ok&=dfs(i);
                if(ok==0)break;
            }
        }
        if(ok)cout<<"NO"<<'\n';
        else cout<<"YES"<<'\n';
    }
}

F

考虑每个人对答案的贡献，
第一个人坐对位置的概率是1/2
第n个人做对位置的概率取决于前面那个人是否坐错位置概率是1/2
其他人坐对位置概率是（前面人坐错）且（自己坐对）答案是1/4
所以答案是n<=2时是1，其他是1/2+(n-2)/4+1/2=(n+2)/4

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int mod=998244353;
int n;
int qpow(int a,int b){
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*a%mod;
        b/=2;
        a=a*a%mod;
    }
    return ans;
}
signed main(){
    cin>>n;
    if(n<=2)cout<<1;
    else cout<<(n+2)*qpow(4,mod-2)%mod;    
}

G

很好的一道题

解法1 dp

时间复杂度是 $O(n^2)$

设 $d p [i] [j] [0 / 1]$ 表示前i个位置塞了j个1，第i个位置是不是1，的最小代价
那么，初始化dp[0][0][0]=0
考虑第i个位置，塞j个1的状态
$d p [i] [j] [0] = m i n (d p [i - 1] [j] [0], d p [i - 1] [j] [1])$
$d p [i] [j] [1] = d p [i - 1] [j - 1] [0] + a b s (i - p [j])$

p[j]表示第j的1的位置
其实也就是让这个字符串里的1重排

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=505;
int p[N],n,a[N],f[N][N][2];
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
    cin>>n;
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        char c;
        cin>>c;
        a[i]=c-'0';
        if(a[i]==1)p[++cnt]=i;
    }
    memset(f,0x3f,sizeof f);
    f[0][0][0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=i;j++){
            if(j==0)f[i][j][0]=f[i-1][j][0];
            else{
                f[i][j][0]=min(f[i-1][j][0],f[i-1][j][1]);
                f[i][j][1]=f[i-1][j-1][0]+abs(i-p[j]);
            }
        }
    }
    int ans=min(f[n][cnt][0],f[n][cnt][1]);
    if(ans==0x3f3f3f3f)ans=-1;
    cout<<ans;
}

解法2费用流

把1看作容器壁，把0看作水
在这里插入图片描述
那么题意就是要求移动水使得每个容器至少都有水
$S--^{费用=0}_{流量=水量}-->容器$
$容器--^{费用=0}_{流量=1}-->T$

$容器 i 向 i - 1, i + 1 连边，容量是 I N F ，费用是 1$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10,M=1e6+10;
int n,m,S,T,h[N],e[M],ne[M],f[M],w[M];
int incf[N],pre[N],d[N],st[N],idx,q[N];
void add(int a,int b,int c,int d){
    e[idx]=b,f[idx]=c,w[idx]=d,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
    e[idx]=a,f[idx]=0,w[idx]=-d,ne[idx]=h[b],h[b]=idx++;
}
bool spfa(){
    memset(d,0x3f,sizeof d);
    memset(incf,0,sizeof incf);
    int hh=0,tt=1;
    q[0]=S,d[S]=0,incf[S]=1e9;
    while(hh!=tt){
        int t=q[hh++];
        if(hh==N)hh=0;
        st[t]=0;
        for(int i=h[t];~i;i=ne[i]){
            int ver=e[i];
            if(f[i]&&d[ver]>d[t]+w[i]){
                d[ver]=d[t]+w[i];
                pre[ver]=i;
                incf[ver]=min(incf[t],f[i]);
                if(!st[ver]){
                    st[ver]=1;
                    q[tt++]=ver;
                    if(tt==N)tt=0;
                    
                }
            }
        }
    }
    return incf[T]>0;
}
void EK(int &flow,int &cost){
    flow=cost=0;
    while(spfa()){
        int t=incf[T];
        flow+=t;
        cost+=t*d[T];
        for(int i=T;i!=S;i=e[pre[i]^1]){
            f[pre[i]]-=t;
            f[pre[i]^1]+=t;
        }
    }
}

signed main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    memset(h,-1,sizeof h);
//     cin>>n>>m>>S>>T;
    string s;
    int len;
    cin>>len>>s;
    S=0,T=N-1;
    cin>>len>>s;
    int sum=0,id=0,cnt=0;
    for(int i=0;i<len;i++){
        int x=s[i]-'0';
        sum+=(x==0);
        if(x==1){
            cnt++;
            id++;
//             cout<<"id="<<id<<" sum="<<sum<<'\n';
            add(S,id,sum,0);
            sum=0;
        }
    }
    id++;
//     cout<<"id="<<id<<" sum="<<sum<<'\n';
    add(S,id,sum,0);
    for(int i=2;i<id;i++)add(i,T,1,0);
    if(cnt>(len+1)/2){
        cout<<-1;
        return 0;
    }
    if(cnt==1){
        cout<<0;
        return 0;
    }
    for(int i=1;i<=id;i++){
        if(i==1)add(i,i+1,1e9,1);
        else if(i==id)add(i,i-1,1e9,1);
        else add(i,i-1,1e9,1),add(i,i+1,1e9,1);
    }
    int flow,cost;
    EK(flow,cost);
    cout<<cost;
}