交换求和顺序

应用场景

在多重求和中，交换求和顺序的最常见情况是需要改变计算某个表达式（通常是连乘或连加）的次序。换句话说，当你在求和时无法通过一个公式直接计算出结果时，可以考虑交换求和顺序； 或者，当交换求和顺序有助于简化计算或消除不必要的计算时，也可以考虑交换求和顺序。一般来说，如果你发现改变求和顺序后能够使问题更容易理解或计算，那么就可以考虑交换求和顺序。
（总之，就是你需要用的时候就会来找这个知识点的）

可以交换求和的条件（部分内容来源ChatGPT）

结论仅供参考

求和顺序可以在以下两种情况下交换：

1. 求和符号中的上下限与被求和式子中的变量无关。

对于这种情况，交换求和顺序不会改变求和结果。例如，${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m{a}_{i,j}={\sum }_{j=1}^m{\sum }_{i=1}^n{a}_{i,j}$ 就是一种典型的情况，因为 ${\sum }_{i=1}^n$ 和 ${\sum }_{j=1}^m$ 的上下限1，n，m都和 $a_{i,j}$ 无关。

直观理解这种情况，假设A是一个矩阵，里面的元素是$a_{i,j}$，先对行求和再对列求和与先对列求和再对行求和效果一样

2. 被求和式子满足柯西-施瓦茨定理（Cauchy-Schwarz Inequality）。

柯西-施瓦茨定理的一般形式是：

$${\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\right)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{a}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{b}_i^2\right),$$

其中 $a_i$ 和 $b_i$ 是任意实数或复数。该定理表明，对于任意的数列 $(a_i)$ 和 $(b_i)$，它们的内积平方不大于它们的长度平方之积。

基于柯西-施瓦茨定理，如果被求和式子满足以下条件：

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m|a_{i,j}{|}^2<\infty \text{和}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m|b_{i,j}{|}^2<\infty ，$$

那么我们可以交换求和顺序，得到：

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{a}_{i,j}{b}_{i,j}=\sum _{j=1}^m\sum _{i=1}^n{a}_{i,j}{b}_{i,j}.$$

接下来，我们可以利用柯西-施瓦茨定理推导出这个结论。首先，注意到对于任意的 $j$ 和 $k$：

$$\sum _{i=1}^n|a_{i,j}{b}_{i,k}|\le \sqrt{\sum _{i=1}^n|a_{i,j}{|}^2}\sqrt{\sum _{i=1}^n|b_{i,k}{|}^2},$$

因此，如果满足 ${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m|a_{i,j}{|}^2<\infty$ 和 ${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m|b_{i,j}{|}^2<\infty$，那么有：

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{a}_{i,j}{b}_{i,j}& =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\left(\sum _{k=1}^m{a}_{i,k}{b}_{k,j}\right)b_{i,j}\\ & =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{k=1}^m{a}_{i,k}{b}_{k,j}{b}_{i,j}.\end{array}$$

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结论中第一个等号是通过把 ${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m{a}_{i,j}{b}_{i,j}$ 中的 $b_{i,j}$ 提出来，然后利用求和符号的线性性质得到的。具体来说，我们有：

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{a}_{i,j}{b}_{i,j}& =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\left(\sum _{k=1}^m{a}_{i,k}{b}_{k,j}\right)b_{i,j}\\ & =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{k=1}^m{a}_{i,k}{b}_{k,j}{b}_{i,j}.\end{array}$$

这个等式的第一步，是因为将 $b_{i,j}$ 提出来后可以得到：

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{a}_{i,j}{b}_{i,j}& =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{a}_{i,j}(b_{i,j}+0+0+\cdots )\\ & =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{a}_{i,j}{b}_{i,j}+\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{a}_{i,j}\cdot 0+\cdots \\ & =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\left(\sum _{k=1}^m{a}_{i,k}{b}_{k,j}\right)b_{i,j}.\end{array}$$

这里的 $0$ 表示任何一个不依赖于 $i$ 和 $j$ 的数，因此它们可以被提出来。在第二步中，我们展开了 ${\sum }_{k=1}^m{a}_{i,k}{b}_{k,j}$，然后再利用求和符号的线性性质将其和 $b_{i,j}$ 相乘，得到：

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\left(\sum _{k=1}^m{a}_{i,k}{b}_{k,j}\right)b_{i,j}& =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{k=1}^m{a}_{i,k}{b}_{k,j}{b}_{i,j}.\end{array}$$

这里的关键是利用了求和符号的线性性质，即对于任意常数 $c$ 和两个可交换求和符号 $\sum$ 和 ${\sum }^{\prime }$，有：

$$\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^{n}c{a}_{i,j}=c\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{a}_{i,j}=c\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^m{a}_{i,j}=\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^{m}c{a}_{i,j}.$$

在这个式子中，我们可以把第二个求和符号 $\sum$ 看成一个常数，然后和 $b_{i,j}$ 相乘，就得到了结论中的第一个等号。

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现在，我们可以交换求和顺序：

$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{k=1}^m{a}_{i,k}{b}_{k,j}{b}_{i,j}\\ =& \sum _{j=1}^m\sum _{i=1}^n\sum _{k=1}^m{a}_{i,k}{b}_{k,j}{b}_{i,j},\end{array}$$

接下来，我们可以继续化简右边的式子：

$$\begin{array}{rl}\sum _{j=1}^m\sum _{i=1}^n\sum _{k=1}^m{a}_{i,k}{b}_{k,j}{b}_{i,j}& =\sum _{j=1}^m\sum _{k=1}^m\sum _{i=1}^n{a}_{i,k}{b}_{k,j}{b}_{i,j}\\ & =\sum _{j=1}^m\sum _{k=1}^m{b}_{k,j}\left(\sum _{i=1}^n{a}_{i,k}{b}_{i,j}\right)\\ & =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{a}_{i,j}\left(\sum _{k=1}^m{b}_{k,j}{b}_{i,k}\right).\end{array}$$

最后一个等号是因为我们再次利用了柯西-施瓦茨定理。由此可见，当被求和式子满足柯西-施瓦茨定理时，我们可以交换求和顺序，而且能够得到一种更简单的形式。

不能交换的情况

除了上述两种情况，一般情况下不能随意交换求和顺序。例如，对于 $i=1,2,3$ 和 $j=1,2$，假设 $a_{i,j}=i+j$，则：

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^2{a}_{i,j}& =(1+2)+(1+3)+(2+2)+(2+3)+(3+2)+(3+3)\\ & =18,\end{array}$$

但是，如果我们交换求和顺序，就会得到不同的结果：

$$\begin{array}{rl}\sum _{j=1}^2\sum _{i=1}^3{a}_{i,j}& =(1+1+2)+(2+2+3)\\ & =11.\end{array}$$

因此，在一般情况下，求和顺序不能任意交换。

其他可以参考的资料

https://zhuanlan.zhihu.com/p/553703824
https://zhuanlan.zhihu.com/p/499839696