视频作者：菜菜TsaiTsai
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可以只看轮廓系数和卡林斯基-哈拉巴斯指数
不同于分类模型和回归，聚类算法的模型评估不是一件简单的事。在分类中，有直接结果（标签）的输出，并且分类的结果有正误之分，所以我们使用预测的准确度等指标来进行评估，但无论如何评估，都是在”模型找到正确答案“的能力。回归的评估也类似分类，都是基于标签的评估。但这些衡量指标都不能够使用于聚类。
那么如何衡量聚类算法的效果？
记得我们说过，KMeans的目标是确保“簇内差异小，簇外差异大”，我们就可以通过衡量簇内差异来衡量聚类的效果。我们刚才说过，Inertia是用距离来衡量簇内差异的指标，因此，我们可以使用Inertia来作为聚类的衡量指标，但是这个指标的缺点和极限太大。
- 它没有上界。我们只知道，Inertia是越小越好，是0最好，但我们不知道，一个较小的Inertia究竟有没有达到模型的极限，能否继续提高。我们也无法说一个数字对于当前模型到底是大还是小
- 它的计算太容易受到特征数目的影响，数据维度很大的时候，Inertia的计算量会陷入维度诅咒之中，计算量会爆炸，不适合用来一次次评估模型。
- 它会受到超参数K的影响，在我们之前的尝试中已经发现，随着K越大，Inertia注定会越来越小，但这并不代表模型的效果越来越好了
- Inertia对数据的分布有假设，它假设数据满足凸分布（即数据在二维平面图像上看起来是一个凸函数的样子），并且它假设数据是各向同性的（isotropic），即是说数据的属性在不同方向上代表着相同的含义。但是现实中的数据往往不是这样。所以使用Inertia作为评估指标，会让聚类算法在一些细长簇，环形簇，或者不规则形状的流形时表现不佳：
![![[附件/Pasted image 20221115213451.png|550]]](https://img-blog.csdnimg.cn/4e180c22f18044c2a5ed671652a23922.png)
那我们可以使用什么指标呢？分两种情况来看。
当真实标签已知的时候
在现实中，拥有真实标签的情况非常少见（几乎是不可能的）。如果拥有真实标签，我们更倾向于使用分类算法。但不排除我们依然可能使用聚类算法的可能性。如果我们有样本真实聚类情况的数据，我们可以对于聚类算法的结果和真实结果来衡量聚类的效果。常用的有以下三种方法：
| 模型评估指标 | 说明 |
|---|---|
| 互信息分 普通互信息分 metrics.adjusted_mutual_info_score (y_pred, y_true) 调整的互信息分 metrics.mutual_info_score (y_pred, y_true) 标准化互信息分 metrics.normalized_mutual_info_score (y_pred, y_true) | 取值范围在(0,1)之中 越接近1，聚类效果越好 在随机均匀聚类下产生0分 |
| V-measure：基于条件上分析的一系列直观度量 同质性：是否每个簇仅包含单个类的样本 metrics.homogeneity_score(y_true, y_pred) 完整性：是否给定类的所有样本都被分配给同一个簇中 metrics.completeness_score(y_true, y_pred) 同质性和完整性的调和平均，叫做V-measure metrics.v_measure_score(labels_true, labels_pred) 三者可以被一次性计算出来 metrics.homogeneity_completeness_v_measure(labels_true, labels_pred) | 取值范围在(0,1)之中 越接近1，聚类效果越好 由于分为同质性和完整性两种度量，可以更仔细地研究，模型到底哪个任务做得不够好 对样本分布没有假设，在任何分布上都可以有不错的表现 在随机均匀聚类下不会产生0分 |
| 调整兰德系数 metrics.adjusted_rand_score(y_true, y_pred) | 取值在(-1,1)之间，负值象征着簇内的点差异巨大，甚至相互独立，正类的兰德系数比较优秀，越接近1越好 对样本分布没有假设，在任何分布上都可以有不错的表现，尤其是在具有"折叠"形状的数据上表现优秀 在随机均匀聚类下产生0分 |
当真实标签未知的时候：轮廓系数
在99%的情况下，我们是对没有真实标签的数据进行探索，也就是对不知道真正答案的数据进行聚类。这样的聚类，是完全依赖于评价簇内的稠密程度（簇内差异小）和簇间的离散程度（簇外差异大）来评估聚类的效果。
轮廓系数是最常用的聚类算法的评价指标。它是对每个样本来定义的，它能够同时衡量：
- 样本与其自身所在的簇中的其他样本的相似度a，等于样本与同一簇中所有其他点之间的平均距离
- 样本与其他簇中的样本的相似度b，等于样本与下一个最近的簇中的所有点之间的平均距离
根据聚类的要求”簇内差异小，簇外差异大“，我们希望b永远大于a，并且大得越多越好。
单个样本的轮廓系数计算为：
s
=
b
−
a
max
(
a
,
b
)
s=\frac{b-a}{\max (a,b)}
s=max(a,b)b−a
这个公式可以被解析为：
s
=
{
1
−
a
b
a
<
b
0
a
=
b
b
a
−
1
a
>
b
s=\left\{\begin{aligned}&1- \frac{a}{b}&a<b\\&0&a=b\\& \frac{b}{a}-1&a>b\end{aligned}\right.
s=⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧1−ba0ab−1a<ba=ba>b
很容易理解轮廓系数范围是(-1,1)，其中值越接近1表示样本与自己所在的簇中的样本很相似，并且与其他簇中的样本不相似，当样本点与簇外的样本更相似的时候，轮廓系数就为负。当轮廓系数为0时，则代表两个簇中的样本相似度一致，两个簇本应该是一个簇。可以总结为轮廓系数越接近于1越好，负数则表示聚类效果非常差。
如果许多样本点具有低轮廓系数甚至负值，则聚类是不合适的，聚类的超参数K可能设定得太大或者太小。
在sklearn中，我们使用模块metrics中的类silhouette_score来计算轮廓系数，它返回的是一个数据集中，所有样本的轮廓系数的均值。但我们还有同在metrics模块中的silhouette_sample，它的参数与轮廓系数一致，但返回的是数据集中每个样本自己的轮廓系数。
from sklearn.metrics import silhouette_score
from sklearn.metrics import silhouette_samples
silhouette_score(X,y_pred)
---
0.5882004012129721
silhouette_samples(X,y_pred)
---
array([ 0.62982017, 0.5034877 , 0.56148795, 0.84881844, 0.56034142,
0.78740319, 0.39254042, 0.4424015 , 0.48582704, 0.41586457,
……
silhouette_samples(X,y_pred).shape
---
(500,)
silhouette_samples(X,y_pred).mean()
---
0.5882004012129721
silhouette_score(X,cluster_.labels_) # n_cluster = 4
---
0.6505186632729437
silhouette_score(X,cluster_.labels_) # n_cluster = 5
---
0.5737098048695828
silhouette_score(X,cluster_.labels_) # n_cluster = 6
---
0.4532882033128697
轮廓系数有很多优点，它在有限空间中取值，使得我们对模型的聚类效果有一个“参考”。并且，轮廓系数对数据的分布没有假设，因此在很多数据集上都表现良好。但它在每个簇的分割比较清晰时表现最好。
但轮廓系数也有缺陷，它在凸型的类上表现会虚高，比如基于密度进行的聚类，或通过DBSCAN获得的聚类结果，如果使用轮廓系数来衡量，则会表现出比真实聚类效果更高的分数。
当真实标签未知的时候：卡林斯基-哈拉巴斯指数
除了轮廓系数是最常用的，我们还有卡林斯基-哈拉巴斯指数（Calinski-Harabaz Index，简称CHI，也被称为方差比标准），戴维斯-布尔丁指数（Davies-Bouldin）以及权变矩阵（Contingency Matrix）可以使用。
| 标签未知时的评估指标 |
|---|
| 卡林斯基-哈拉巴斯指数 sklearn.metrics.calinski_harabaz_score (X,y_pred) |
| 戴维斯-布尔丁指数 sklearn.metrics.davies_bouldin_score (X, y_pred) |
| 权变矩阵 sklearn.metrics.cluster.contingency_matrix (X, y_pred) |
在这里我们重点来了解一下卡林斯基-哈拉巴斯指数。Calinski-Harabaz指数越高越好。对于有k个簇的聚类而言， Calinski-Harabaz指数s(k)写作如下公式：
s
(
k
)
=
T
r
(
B
k
)
T
r
(
W
k
)
⋅
N
−
k
k
−
1
s(k)=\frac{Tr(B_{k})}{Tr(W_{k})}\cdot \frac{N-k}{k-1}
s(k)=Tr(Wk)Tr(Bk)⋅k−1N−k
其中N为数据集中的样本量，k为簇的个数（即类别的个数），
B
k
B_{k}
Bk是组间离散矩阵，即不同簇之间的协方差矩阵，
W
k
W_{k}
Wk是簇内离散矩阵，即一个簇内数据的协方差矩阵，而
T
r
Tr
Tr表示矩阵的迹。
数据之间的离散程度越高，协方差矩阵的迹就会越大。组内离散程度低，协方差的迹就会越小，
T
r
(
W
k
)
Tr(W_{k})
Tr(Wk)也就越小，同时，组间离散程度大，协方差的的迹也会越大，
T
r
(
B
k
)
Tr(B_{k})
Tr(Bk)就越大，这正是我们希望的，因此Calinski-harabaz指数越高越好。
from sklearn.metrics import calinski_harabasz_score
calinski_harabasz_score(X,y_pred)
---
1809.991966958033
虽然calinski-Harabaz指数没有界，在凸型的数据上的聚类也会表现虚高。但是比起轮廓系数，它有一个巨大的优点，就是计算非常快速。
from time import time
t0 = time()
calinski_harabasz_score(X,y_pred)
time() - t0
---
0.0010504722595214844
t0 = time()
silhouette_score(X,y_pred)
time() - t0
---
0.01594376564025879
稍微说说卡林斯基-哈拉巴斯指数，因为实在是看着那个公式不解释一下感觉太怪了
B k B_{k} Bk为类间方差
B k = ∑ q = 1 k n q ( c q − c E ) ( c q − c E ) T B_{k}=\sum\limits_{q=1}^{k}n_{q}(c_{q}-c_{E})(c_{q}-c_{E})^{T} Bk=q=1∑knq(cq−cE)(cq−cE)T
k k k表示聚类结果的数量， c q c_{q} cq是类 q q q的质点， c E c_{E} cE是所有数据的中心点， n q n_{q} nq是类 q q q数据点的总数
W k W_{k} Wk为类内方差
W k = ∑ q = 1 k ∑ x ∈ C q ( x − c q ) ( x − c q ) T W_{k}=\sum\limits_{q=1}^{k}\sum\limits_{x \in C_{q}}^{}(x-c_{q})(x-c_{q})^{T} Wk=q=1∑kx∈Cq∑(x−cq)(x−cq)T
C q C_{q} Cq是类 q q q的质点
Calinski-Harbasz Score衡量分类情况和理想分类情况（类之间方差最大，类内方差最小）之间的区别，归一化因子 N − k k − 1 \frac{N-k}{k-1} k−1N−k随着类别数k的增加而减少，使得该方法更偏向于选择类别少的分类结果。这导致了在实验中K=2，往往得到很高的分数，但是这不是我们想要的结果。这时，我们需要去找另一个局部最优的K。即使找到的K不是真正的分数最高，但是只要它们对应的得分显著高，我们都可以接受这样的值，如同梯度一样，我们有的时候并不能找到全局最优，但是局部最优的结果仍可以接受。链接：Calinski-Harbasz Score 详解_chloe_au_yeung的博客-CSDN博客_calinski_harabasz_score
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