数据结构与算法07：高效的排序算法

news2024/11/30 2:44:47

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归并排序

快速排序

桶排序

计数排序

基数排序

对比各类排序算法

每日一练：排序链表

在上一篇文章中分析了简单的三种排序算法：冒泡排序、插入排序、选择排序，这三种排序算法的时间复杂度都是O(n^2)，效率不是很高。如果要对大规模的数据排序，可以考虑使用归并排序和快速排序，可以实现O(nlogn)的时间复杂度。

归并排序

归并排序使用的是“分而治之”的思想，就是把一个无序的数组从中间分成前后两部分，然后对这两个部分再次分割，一直分割到最小单元（每个子数组只包含一个元素），然后对每一个最小单元分别排序，再将排好序的两部分合并在一起，这样整个数组就都有序了。整个实现过程可以使用递归的方式，如下图所示：

归并排序动画图

既然可以用递归代码来实现归并排序，那么首先就得分析得出递推公式，然后找到终止条件，最后将递推公式转换成递归代码。下面是实现过程的伪代码思路：

// 归并排序算法, A 是数组，n 表示数组大小
merge_sort(A, n) {
  merge_sort_c(A, 0, n-1)
}
 
// 递归调用函数
merge_sort_c(A, p, r) {
  // 递归终止条件
  if p >= r  then return

  // 取 p 到 r 之间的中间位置 q
  q = (p+r) / 2

  // 分治递归
  merge_sort_c(A, p, q)
  merge_sort_c(A, q+1, r)

  // 将 A[p...q] 和 A[q+1...r] 合并为 A[p...r]
  merge(A[p...r], A[p...q], A[q+1...r])
}

转换成Go语言代码如下：

// go-algo-demo/sort1/MergeSort.go

func MergeSort(arr []int) {
	arrLen := len(arr)
	if arrLen <= 1 {
		return
	}

	mergeSort(arr, 0, arrLen-1)
}

//分
func mergeSort(arr []int, start, end int) {
	if start >= end {
		return
	}

	mid := (start + end) / 2
	mergeSort(arr, start, mid)
	mergeSort(arr, mid+1, end)
	merge(arr, start, mid, end)
}
//合
func merge(arr []int, start, mid, end int) {
	tmpArr := make([]int, end-start+1)

	i := start
	j := mid + 1
	k := 0
	for ; i <= mid && j <= end; k++ {
		if arr[i] < arr[j] {
			tmpArr[k] = arr[i]
			i++
		} else {
			tmpArr[k] = arr[j]
			j++
		}
	}

	for ; i <= mid; i++ {
		tmpArr[k] = arr[i]
		k++
	}
	for ; j <= end; j++ {
		tmpArr[k] = arr[j]
		k++
	}
	copy(arr[start:end+1], tmpArr)
}

func main() {
	arr := []int{8, 4, 5, 7, 1, 3, 6, 2}
	MergeSort(arr)
	fmt.Println(arr) //[1 2 3 4 5 6 7 8]
}

归并排序的性能分析：

  • 在merge()合并的函数中，可以保证相同的元素在合并前后保持顺序不变，因此是一个稳定的排序算法。
  • 在合并两个有序数组为一个有序数组时需要开辟额外的存储空间，空间复杂度是O(n)，所以归并排序不是原地排序算法。
  • 时间复杂度比较稳定，在最好情况、最坏情况、平均情况下的时间复杂度都是 O(nlogn)。

【问】为什么归并排序的时间复杂度是O(nlogn)？

【答】因为归并排序首先使用了二分的思想，这个过程的时间复杂度是O(logn)，然后再进行有序子数组合并的时候，需要O(n)的时间复杂度，因此整个过程就是O(n * logn)。

快速排序

快速排序也简称为“快排”，也是使用了分治思想，把原始的数组筛选分成较小和较大的两个子数组，然后递归的排序两个子数组。首先在数组中选择任意一个数据作为分区点（设为Q），然后遍历整个数组，将小于Q的部分(0到Q)放到左边，大于Q的部分(Q+1到结尾)放到右边，Q在中间。然后使用递归分别处理这三部分的数据，直到区间缩小为1。这个过程基本就是一个二叉树的前序遍历的过程。看下图所示：

快速排序动画图

递推公式的伪代码：

// 快速排序，A 是数组，n 表示数组的大小
quick_sort(A, n) {
  quick_sort_c(A, 0, n-1)
}
// 快速排序递归函数，p,r 为下标
quick_sort_c(A, p, r) {
  if p >= r then return
  
  q = partition(A, p, r) // 获取分区点
  quick_sort_c(A, p, q-1)
  quick_sort_c(A, q+1, r)
}

转换成Go语言代码如下： 

// go-algo-demo/sort1/QuickSort.go
func QuickSort(arr []int) {
	arrLen := len(arr)
	if arrLen <= 1 {
		return
	}
	quickSort(arr, 0, arrLen-1)
}

func quickSort(arr []int, start, end int) {
	if start >= end {
		return
	}
	Q := partition(arr, start, end)
	quickSort(arr, start, Q)
	quickSort(arr, Q+1, end)
}

func partition(arr []int, low, high int) int {
	Q := arr[low]
	for low < high {
		//指针从右边开始向右找到一个比Q小的数
		for low < high && arr[high] > Q {
			high--
		}
		//将这个数放到low位，注意第一次这个位置放的是Q值，所以不会丢
		arr[low] = arr[high]
		//指针从左边开始向右找到第一个比Q大的数
		for low < high && arr[low] < Q {
			low++
		}
		//将这个数赋值给之前的high指针，因为之前high指针指向的数已经被一定，所以不会丢
		arr[high] = arr[low]
	}
	//最后将Q的值放入合适位置，此时low与high相等
	arr[low] = Q
	return low
}

func main() {
	arr := []int{8, 4, 5, 7, 1, 3, 6, 2}
	QuickSort(arr)
	fmt.Println(arr) //[1 2 3 4 5 6 7 8]
}

快速排序的性能分析：

  • 快排在分区的过程中涉及到元素的交换，所以快排是不稳定的排序算法。
  • 快排通过原地分区函数，可以实现原地排序，空间复杂度O(1)。
  • 快排如果每次选中的Q都是中位数，那么时间复杂度就是 O(nlogn)；如果每次选中的Q都是最小值或最大值，那么此时最坏情况下的时间复杂度是O(n^2)，这种概率不大；快排的平均时间复杂度是O(nlogn)。

对比归并排序和快速排序：

  • 归并排序的处理过程是由下到上的，先处理子问题，然后再合并；快排正好相反，它的处理过程是由上到下的，先分区，然后再处理子问题。
  • 归并排序虽然是稳定的、时间复杂度为 O(nlogn) 的排序算法，但是它是非原地排序算法；快速排序通过原地分区函数，可以实现原地排序，占用内存较少。

如何优化快速排序？

上面分析了，快排的时间复杂度如果成为O(n^2)的主要原因分区点选的不够合理，最理想的分区点是：被分区点分开的两个分区中，数据的数量差不多。一般可以使用 三数取中法 来获取分区点：从数组区间的头部、尾部、中间 分别取出一个数，然后对比大小，然后使用这3个数的中间值作为分区点。如果要排序的数组比较大，那么也可能需要 “五数取中” 或者 “十数取中”。 

桶排序

上面说的归并排序和快速排序的时间复杂度都是O(nlogn)，还有以下三种时间复杂度是O(n)的排序算法：桶排序、计数排序、基数排序，这三种排序算法时线性排序的，不涉及元素之间的比较操作。

桶排序：将要排序的数据按照一定的规则分到几个有序的桶里，每个桶里的数据再单独排序，桶内排完序之后再把每个桶里的数据按照顺序依次取出，组成的序列就是有序的了。如下图所示：

桶排序需要注意以下几个问题：

  • 所有的桶需要是有序的，这样就不需要再对桶进行排序；
  • 数据在各个桶之间的分布应该是比较均匀的，才能保证达到O(n)的时间复杂度；
  • 桶排序比较适合用在以下场景：数据量比较大、内存有限、无法将数据全部加载到内存中；

假设现在有10GB的订单数据，希望按订单金额排序，但是计算机的内存只有几百 MB，没办法一次性把10GB的数据都加载到内存中，就可以使用桶排序，方法如下：

先把所有的订单根据金额划分到100个有序的桶里面，第1个桶存储1-1000元的数据，第2个桶存储1001-2000元的数据，以此类推，第100个桶存储99000-100000元的数据。如果订单金额分布比较均匀，那么每个桶中大约存储100MB的数据，就可以针对每个桶使用快速排序或者归并排序；如果订单金额分布不均匀，比如1-1000元之间的比较多，那么就对这个桶里面的数据继续拆分为多个桶来处理。

计数排序

计数排序其实是桶排序的一种特殊情况，当要排序的数据所处的范围区间并不大（比如最大值是 k，就可以把数据划分成 k 个桶），每个桶内的数据值都是相同的，省掉了桶内排序的时间。

还是类似上面的例子，只不过场景改成了10GB的用户信息，希望按照用户年龄排序，用户的年龄范围是0-120岁，就可以把这些数据划分到121个有序的桶中，每个桶内都是相同的数据，所以最终只需要依次扫描每个桶内的数据就实现了最终的排序。

计数排序只能用在数据范围不大的场景中，如果数据范围 k 比要排序的数据 n 大很多，就不适合用计数排序了。而且计数排序只能给非负整数排序，如果要排序的数据是其他类型的，要将其在不改变相对大小的情况下转化为非负整数。

基数排序

基数排序对要排序的数据是有要求的，需要可以分割出独立的“位”来比较，而且位之间有递进的关系，如果 a 数据的高位比 b 数据大，那剩下的低位就不用比较了。除此之外，每一位的数据范围不能太大，要可以用线性排序算法来排序，否则基数排序的时间复杂度就无法做到 O(n) 了。

假设要对 10万 个手机号码从小到大排序，就可以使用基数排序，方法如下：如果两个手机号码前两位已经比较出大小了，就没必要再比较后面的数字了。

对比各类排序算法

  • 对数据规模比较小的数据进行排序，可以选择时间复杂度为O(n^2)的排序算法，比如：冒泡、插入、选择；
  • 对数据规模比较大的数据进行排序，可以选择时间复杂度为O(nlogn)的排序算法，比如：快排、归并；
  • 归并排序不是原地排序算法，空间复杂度为O(n)，对空间资源消耗会很多，假设原数组100MB，使用归并排序就要消耗200MB的空间资源。
  • 快速排序在平均时间复杂度为O(nlogn)，最坏的时间复杂度也有可能退化为O(n^2)，但是一般概率不大。
排序算法时间复杂度是否稳定排序是否原地排序
冒泡排序O(n^2)是是
插入排序O(n^2)是是
选择排序O(n^2)否是
快速排序O(nlogn)否是
归并排序O(nlogn)是否
计数排序O(n+k)，k是数据范围是否
桶排序O(n)是否
基数排序O(n)是否

源代码：https://gitee.com/rxbook/go-algo-demo/tree/master/sort1

每日一练：排序链表

力扣21. 合并两个有序链表

力扣148. 排序链表 

给你链表的头结点 head ，请将其按 升序 排列并返回 排序后的链表 。

示例 1：输入：head = [4,2,1,3]，输出：[1,2,3,4]
示例 2：输入：head = [-1,5,3,4,0]，输出：[-1,0,3,4,5]

思路：使用归并排序，找到中间的元素然后拆分数组进行排序，最后再合并。时间复杂度O(nlogn)，空间复杂度O(n)。

//https://gitee.com/rxbook/go-algo-demo/blob/master/leetcode/SortList.go

package main

import "fmt"

type ListNode struct {
	Val  int
	Next *ListNode
}

// 递归到只有一个数字的时候返回，然后再合并
func sortList(head *ListNode) *ListNode {
	if head == nil || head.Next == nil {
		return head
	}
	mid := findMiddle(head)

	tail := mid.Next
	mid.Next = nil

	left := sortList(head)
	right := sortList(tail)

	return mergeTwoLists(left, right)
}

// 快慢指针找链表的中点
func findMiddle(head *ListNode) *ListNode {
	slow := head
	fast := head.Next
	for fast != nil && fast.Next != nil {
		slow = slow.Next
		fast = fast.Next.Next
	}
	return slow
}

// 力扣21.合并两个有序链表
func mergeTwoLists(l1 *ListNode, l2 *ListNode) *ListNode {
	dummy := new(ListNode)
	cur := dummy
	// 遍历两个链表，每次比较链表头的大小，每次让较小值添加到 dummy 的后面，并且让较小值所在的链表后移一位
	for {
		if l1 == nil && l2 == nil {
			break
		}
		if l1 == nil {
			cur.Next = l2
			break
		}
		if l2 == nil {
			cur.Next = l1
			break
		}
		// 会出现一条链表遍历完，另外一条链表没遍历完的情况，需要将没遍历的链表添加到结果链表中
		if l1.Val < l2.Val {
			cur.Next = l1
			l1 = l1.Next
			cur = cur.Next
		} else {
			cur.Next = l2
			l2 = l2.Next
			cur = cur.Next
		}
	}
	return dummy.Next
}

func main() {
	list := &ListNode{
		Val: -1, Next: &ListNode{
			Val: 5, Next: &ListNode{
				Val: 3, Next: &ListNode{
					Val: 4, Next: &ListNode{
						Val: 0,
					},
				},
			},
		},
	}
	list.Print()           //-1->5->3->4->0
	sortList(list).Print() //-1->0->3->4->5
}

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