4.数据结构期末复习之树

news2024/10/5 13:57:01

1.树的概念(一对多)(要求会写遍历序列)

      1)n>=个节点,n=0时为空树
      2)仅有一个根节点
      3)左右节点互不相交,子节点一对多

2.树的特点

 1.子树之间没有关系         
 2.节点不属于多个子树(一个节点只能在一颗子树里面)
 3.没有回路(就是成环)
 4.有层次性

在这里插入图片描述

3.术语

   1.节点的度:拥有子树的个数
     树的度: 求最大值 max(树各节点的度)

在这里插入图片描述

   2.叶子节点(终端节点)                       度=0
      分支节点 (非终端节点)                   度!=0

在这里插入图片描述

       3.孩子 双亲(父节点) 兄弟 祖先(下面都是子孙)

在这里插入图片描述

  4.路径(从上到下)
             1)路径长度=经过边数-1
             2) 路是唯一的(父是唯一的)

在这里插入图片描述

   5.节点所在层数
               1)深度/高度(上下的最大节点数) 
               2)宽度(一层的左右的最大节点数)

在这里插入图片描述
3.树的遍历(对全部元素访问一遍)(没有遗漏,没有重复的访问)(从根开始访问一某种次序)(根节点在哪个位置就叫做x序遍历)

         1.前序遍历(递归)(先访问根节点,后访问左节点到右节点)
         2.后序遍历(递归)(先访问左节点到右节点,再访问根节点)
         3.层序遍历(一层一层访问)
         例如:

在这里插入图片描述
4.树的存储结构(数据元素+逻辑关系)

1.双亲表示法 (层序存储) 查双亲O(1) 查孩子O(n)查整个表,需要+firstChild优化+孩子数为O(1)

在这里插入图片描述

2.孩子表示法

1.方案1: 指针域个数=树的度(会浪费,大量的没有指向的指针)   
2.方案2: 指针域个数=节点数的度(不浪费,但是节点结构不一样)
3.方案3: 数组+指针(实用) 查孩子O(1)  查双亲O(n) +parent数组优化到O(1)

在这里插入图片描述

3.孩子兄弟表示法(可以找孩子和兄弟)(指针指向孩子和兄弟) 找兄弟O(1) 找孩子O(n)

5.二叉树(考遍历序列和画树)?

1.存在空二叉树,两颗互不相交的左右子树,区分左右子树
2.二叉树不是度为2的树(对)
3.度下于等于2(错) 可能不为2
4.斜树左斜树:只有左边的节点;右斜树:只有右边的节点高度==节点数(一层一个节点)

在这里插入图片描述

6.满二叉树
特点:
1.叶子在最后一层
2.只有度= 0或2
3.同深度二叉树,他的叶子最多
4.节点数 = 2^(i) -1 (i>=0) i是层树

在这里插入图片描述 7.完全二叉树(满二叉树去最后几个节点[必须是连续的n个节点])

在这里插入图片描述

8.二叉树的性质

如果节点度=1 一定只有一个左孩子
度 n0=n2+1;(叶子节点数=度为2 +1)
证明: n=n0+n1+n2; (全部度相加=节点数)
n=n1+2n2+1;(边数+1=节点数)
二叉树第i层最多有 2^(i-1)个节点
深度=k 最多2^k -1 个节点 !!!
n个节点的完全二叉树深度=|Log2n|+1(||代表向下取整)
双亲序号 i/2 (i>1)
i的左孩子 2i (2i<=n)
右 2i+1 (2i+1,=n)

9.二叉树的遍历(限定先左后右)

层序遍历(之前说过了,就不重复了)
前,中,后序遍历
给一个前/中/后序列不能得到二叉树,需要中序+其他序才可以 , 没有中序则不能得到二叉树
例子:

在这里插入图片描述
全部使用框框(从根开始)才容易解题.

在这里插入图片描述
10.二叉树c语言代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <malloc.h>
#define MaxSize 100
/*将二叉链表的结点结构定义和各个函数定义放到这里*/
typedef char DataType;   /*定义二叉树结点的数据类型，假设为char型*/
typedef struct BiNode {           /*定义二叉链表的结点类型*/
	DataType data;
	struct BiNode *lchild, *rchild;
} BiNode;
void PreOrder(BiNode *root) { //前序遍历
	if (root == NULL)  return;         /*递归调用的结束条件*/
	else {
		printf("%c ", root->data);        /*访问根结点的数据域，为char型*/
		PreOrder(root->lchild);          /*前序递归遍历root的左子树*/
		PreOrder(root->rchild);          /*前序递归遍历root的右子树*/
	}
}
void InOrder (BiNode *root) { //中序遍历
	if (root == NULL) return;           /*递归调用的结束条件*/
	else {
		InOrder(root->lchild);            /*中序递归遍历root的左子树*/
		printf("%c ", root->data);         /*访问根结点的数据域，为char型*/
		InOrder(root->rchild);            /*中序递归遍历root的右子树*/
	}
}

void PostOrder(BiNode *root) {//后序遍历
	if (root == NULL) return;          /*递归调用的结束条件*/
	else {
		PostOrder(root->lchild);         /*后序递归遍历root的左子树*/
		PostOrder(root->rchild);         /*后序递归遍历root的右子树*/
		printf("%c ",root->data);              /*访问根结点的数据域，为char型*/
	}
}
void LeverOrder(BiNode *root) {//层序遍历
	int rear;
	BiNode *q = NULL, *Q[MaxSize];        /*采用顺序队列*/
	//等同于定义了一个二叉树结构的队列 BiNode *Q[MaxSize];
	int front = rear = -1;                     /*初始化顺序队列*/
	if (root == NULL) return;                /*二叉树为空，算法结束*/
	Q[++rear] = root;                       /*根指针入队*/
	while (front != rear) {                   /*当队列非空时*/
		q = Q[++front];                       /*出队*/
		printf("%c ", q->data);                 /*访问结点，为char型*/
		if (q->lchild != NULL)  Q[++rear] = q->lchild;
		if (q->rchild != NULL)  Q[++rear] = q->rchild;
	}
}
int CalDepth(BiNode *root, int depth) { //得到二叉树的深度
	if (root == NULL)  return depth;         /*递归调用的结束条件*/
	else {
		int left_depth = CalDepth(root->lchild, depth + 1);
		int right_depth = CalDepth(root->rchild, depth + 1);
		return left_depth > right_depth ? left_depth : right_depth;
	}
}
int CalNodeNumber(BiNode *root){ //递归求全部节点数
	if(root == NULL) return 0;
	int count = 1;
	count += CalNodeNumber(root->lchild);
	count += CalNodeNumber(root->rchild);
	return count;
}
int CalLeafNumber(BiNode *root){//计算叶子节点数量
	if(root == NULL) return 0;
	int count = 0;
	if(root->lchild == NULL && root->rchild == NULL) count = 1;  //到空的时候才判断是叶子节点
	count += CalLeafNumber(root->lchild);
	count += CalLeafNumber(root->rchild);
	return count;
}
BiNode * CreatBiTree(BiNode *root) {
	char ch;
	scanf("%c", &ch);           /*输入结点的数据信息*/
	if (ch == '#' || ch == '\n') root = NULL;              /*递归结束，建立一棵空树*/
	else {
		root = (BiNode *)malloc(sizeof(BiNode));    /*生成新结点*/
		root->data = ch;                         /*新结点的数据域为ch*/
		printf("建立结点%c\n建立结点%c的左子树\n",ch,ch);
		root->lchild = CreatBiTree(root->lchild);           /*递归建立左子树*/
		printf("结点%c左子树建立完毕，建立其右子树\n",ch);
		root->rchild = CreatBiTree(root->rchild);           /*递归建立右子树*/
		printf("结点%c的右子树建立完毕\n",ch);
	}
	return root;
}
void DestroyBiTree(BiNode *root) {
	if (root == NULL) return;
	DestroyBiTree(root->lchild);
	DestroyBiTree(root->rchild);
	free(root);
}

int main( ) {
	BiNode *root = NULL;                  /*定义二叉树的根指针变量*/
	printf("开始建立二叉树，请输入建立序列\n");
	root = CreatBiTree(root);                  /*建立一棵二叉树*/
	printf("二叉树建立完毕\n");
	int depth = CalDepth(root, 0);
	printf("二叉树的深度是: %d\n", depth);
	
	int count = CalNodeNumber(root);
	printf("二叉树的结点数为：%d\n", count);
	
	int leaf = CalLeafNumber(root);
	printf("二叉树的叶子节点数为：%d\n", leaf);
	
	printf("该二叉树的根结点是：%c\n", root->data);
	printf("\n该二叉树的前序遍历序列是：");
	PreOrder(root);
	printf("\n该二叉树的中序遍历序列是：");
	InOrder(root);
	printf("\n该二叉树的后序遍历序列是：");
	PostOrder(root);
	printf("\n该二叉树的层序遍历序列是：");
	LeverOrder(root);
	DestroyBiTree(root);
	return 0;
}