2023/5/27 20:08：今天早上9:00~12:00考了数学竞赛国赛。广州是真的热啊！西安才17度，还下着小雨，到广州之后那个艳阳直接给我人干废了，去酒店的路上步行了20分钟真的要死了已经。
拿到卷子的我是崩溃的，用正交矩阵化曲面方程为标准方程（第二题）？我最怕的Gram-Schmidt正交化出来了。那个矩阵的特征值算了半天，首先猜了个-2，不对，然后猜了个2，对了，这下好了，剩下两个特征值只需要用迹和行列式就可以弄出来。然后我又意识到，我好像没有学过标准方程这个东西？线代老师上课的时候好像把这一节略过去了，而且我也没有复习？崩溃ing，就把二次型的标准型和规范型写上去了，最后那道题扣了1分。
然后是第三题。什么鬼呀？首先可以想到全微分，然后就是一个微分方程。什么？高阶线性微分方程？我没复习这个呀！我还以为不考的！前几届没考过！然后就硬凑呗，费了九牛二虎之力把 f ( x ) + 4 f ′ ′ ( x ) = 0 f(x)+4f''(x)=0 f(x)+4f′′(x)=0这个可降阶的二阶线性齐次微分方程解出来了，最后这道题只给了4.5分。
第四题答案算错了，扣了2.5分。
第五题前两问送分，第三问眼瞎了，直接按照第二问的思路写了，写完之后还沾沾自喜，殊不知第三问要分段考虑，还要利用对称性。。。我简直想穿越回去抽我自己两巴掌。。。
第六题，最神奇的一道题，我不知道怎么证，只写了两点之间线段最短，居然给了11.5分？！这是我没想到的。
第七题，证收敛很好证，但是求和的话，两个 ln \ln ln相乘是什么鬼？从来没见过！束手无策！想了半个小时没想出来，放弃了。得了2.5分。
总结：准备了一个月，考的全是没准备的，这次就当是公费旅游了，呜呜呜。西北蛮荒之地的鼠鼠到了人家国际化大都市广州就像是刘姥姥进大观园了一样。住的木莲庄酒店还是挺豪华的。
2023/5/27 20:23：目前卷面分74，国二都悬。。。
2023/5/27 20:38：总结一下教训吧。基础知识还是不扎实，写卷子的过程中有点慌张，字也写的很烂，步骤也写的不详细。。。吃一堑长一智吧。
赛题完整答案如下：
图片来自官方公众号文章。
填空题第(4)题：本来填空题都是送分题（我10分钟就做完了），但是有些人居然把这道题做错了！一定注意极值点求出来之后还要判断Hesse矩阵的正定性！
第三题，要是知道 f ( x ) + 4 f ′ ′ ( x ) = 0 f(x)+4f''(x)=0 f(x)+4f′′(x)=0的通解是 f ( x ) = C 1 sin 2 x + C 2 cos 2 x f(x)=C_1\sin 2x+C_2\cos 2x f(x)=C1sin2x+C2cos2x就非常简单了。（可惜我当时没复习到呜呜呜……
第四题，直接用定积分算是不行的，必须化成球坐标下的三重积分。我有个变量代换没除 2 \sqrt{2} 2，结果翻车了，嘤嘤嘤~
第五题，注意： t sin x ≥ sin t x t\sin x\ge\sin tx tsinx≥sintx只是在 x ∈ [ 0 , π ] x\in[0,\pi] x∈[0,π]， t ∈ [ 0 , 1 ] t\in[0,1] t∈[0,1]的时候成立。第一问我用Jensen不等式证的，第二问送分题，第三问栽到坑里了……我正纳闷为什么 sin u \sin u sinu要加绝对值呢，它在 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]上不是非负数吗？总之这道题得分段考虑，每个 π \pi π分成一段，最后剩下的尾巴再分成一段，再把每一段合起来就好了。
第六题，其实答案的方法我尝试过，但是我以为这个方法做不出来的。这个柯西不等式用的实在是太玄妙了。不过这道题没扣什么分，还是挺高兴的。
第七题，我打死也想不到 a n = a 2 n + a 2 n + 1 a_n=a_{2n}+a_{2n+1} an=a2n+a2n+1这种东西。。。简单推一下： a n = ln ( 1 + 1 n ) a 2 n + a 2 n + 1 = ln ( 1 + 1 2 n ) + ln ( 1 + 1 2 n + 1 ) = ln ( 1 + 1 2 n + 1 2 n + 1 + 1 ( 2 n ) ( 2 n + 1 ) ) a_n=\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\\ a_{2n}+a_{2n+1}=\ln\left(1+\frac{1}{2n}\right)+\ln\left(1+\frac{1}{2n+1}\right)=\ln\left(1+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{(2n)(2n+1)}\right) an=ln(1+n1)a2n+a2n+1=ln(1+2n1)+ln(1+2n+11)=ln(1+2n1+2n+11+(2n)(2n+1)1)其中 1 ( 2 n ) ( 2 n + 1 ) = 1 2 n − 1 2 n + 1 \frac{1}{(2n)(2n+1)}=\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1} (2n)(2n+1)1=2n1−2n+11，故 a 2 n + a 2 n + 1 = ln ( 1 + 1 2 n + 1 2 n + 1 + 1 2 n − 1 2 n + 1 ) = ln ( 1 + 1 n ) = a n a_{2n}+a_{2n+1}=\ln\left(1+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}\right)=\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)=a_n a2n+a2n+1=ln(1+2n1+2n+11+2n1−2n+11)=ln(1+n1)=an太他喵的玄妙了！然后对于这种非等比数列的求和，一般是用一些相邻两项相减相消的手段。我当时想到了裂项，不过没裂出来，但是整体思想差不多。他是说，令 b n = ∑ k = n 2 n − 1 a k 2 b_n=\sum\limits_{k=n}^{2n-1}a_k^2 bn=k=n∑2n−1ak2，则 b n − b n + 1 = a n 2 − a 2 n 2 − a 2 n + 1 2 b_n-b_{n+1}=a_n^2-a_{2n}^2-a_{2n+1}^2 bn−bn+1=an2−a2n2−a2n+12；因为 a n = a 2 n + a 2 n + 1 a_n=a_{2n}+a_{2n+1} an=a2n+a2n+1，所以减掉之后变成 b n − b n + 1 = 2 a n a n + 1 b_n-b_{n+1}=2a_na_{n+1} bn−bn+1=2anan+1。然后因为 b n b_n bn趋于0， ∑ n = 1 ∞ a 2 n a 2 n + 1 = 1 2 lim N → ∞ ∑ n = 1 N ( b n − b n + 1 ) = b 1 2 = ln 2 2 2 \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{2n}a_{2n+1}=\frac{1}{2}\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{n=1}^N(b_n-b_{n+1})=\frac{b_1}{2}=\frac{\ln^2 2}{2} n=1∑∞a2na2n+1=21N→∞limn=1∑N(bn−bn+1)=2b1=2ln22。
实在是太妙了我只能说！两项相乘可以用平方和-和平方来构造，这个差又通过另一数列的相邻两项之差得到。我八辈子也想不出来这种解法。
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