✨博主：命运之光
✨专栏：算法基础学习
目录
✨拓扑排序
🍓朴素dijkstra算法：
🍓堆优化版dijkstra :
🍓Bellman-Ford算法
🍓spfa 算法（队列优化的Bellman-Ford算法）
🍓floyd算法:
✨图的存储
前言：算法学习笔记记录日常分享，需要的看哈O(∩_∩)O，感谢大家的支持！
✨拓扑排序
时间复杂度 O(n+m), n 表示点数，m 表示边数
bool topsort()
{
int hh = 0, tt = -1;
// d[i] 存储点i的入度
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
if (!d[i])
q[ ++ tt] = i;
while (hh <= tt)
{
int t = q[hh ++ ];
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (-- d[j] == 0)
q[ ++ tt] = j;
}
}
// 如果所有点都入队了，说明存在拓扑序列；否则不存在拓扑序列。
return tt == n - 1;
}拓扑排序
🍓朴素dijkstra算法：
时间复杂是 O(n2+m), n 表示点数，m 表示边数
int g[N][N]; // 存储每条边
int dist[N]; // 存储1号点到每个点的最短距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短路是否已经确定
// 求1号点到n号点的最短路，如果不存在则返回-1
int dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )
{
int t = -1; // 在还未确定最短路的点中，寻找距离最小的点
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
t = j;
// 用t更新其他点的距离
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
st[t] = true;
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}优化：
🍓堆优化版dijkstra :
时间复杂度 O(mlogn), n 表示点数，m 表示边数
typedef pair<int, int> PII;
int n; // 点的数量
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N]; // 存储所有点到1号点的距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短距离是否已确定
// 求1号点到n号点的最短距离，如果不存在，则返回-1
int dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
heap.push({0, 1}); // first存储距离，second存储节点编号
while (heap.size())
{
auto t = heap.top();
heap.pop();
int ver = t.second, distance = t.first;
if (st[ver]) continue;
st[ver] = true;
for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > distance + w[i])
{
dist[j] = distance + w[i];
heap.push({dist[j], j});
}
}
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}🍓Bellman-Ford算法
处理有负权边的
优化：spfa
🍓spfa 算法（队列优化的Bellman-Ford算法）
时间复杂度 平均情况下 O(m)，最坏情况下 O(nm), n 表示点数，m 表示边数
int n; // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N]; // 存储每个点到1号点的最短距离
bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中
// 求1号点到n号点的最短路距离，如果从1号点无法走到n号点则返回-1
int spfa()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
queue<int> q;
q.push(1);
st[1] = true;
while (q.size())
{
auto t = q.front();
q.pop();
st[t] = false;
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[t] + w[i])
{
dist[j] = dist[t] + w[i];
if (!st[j]) // 如果队列中已存在j，则不需要将j重复插入
{
q.push(j);
st[j] = true;
}
}
}
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}spfa求负环：
spfa判断图中是否存在负环：
时间复杂度是 O(nm), n 表示点数，m 表示边数
int n; // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N], cnt[N]; // dist[x]存储1号点到x的最短距离，cnt[x]存储1到x的最短路中经过的点数
bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中
// 如果存在负环，则返回true，否则返回false。
bool spfa()
{
// 不需要初始化dist数组
// 原理：如果某条最短路径上有n个点（除了自己），那么加上自己之后一共有n+1个点，由抽屉原理一定有两个点相同，所以存在环。
queue<int> q;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
q.push(i);
st[i] = true;
}
while (q.size())
{
auto t = q.front();
q.pop();
st[t] = false;
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[t] + w[i])
{
dist[j] = dist[t] + w[i];
cnt[j] = cnt[t] + 1;
if (cnt[j] >= n) return true; // 如果从1号点到x的最短路中包含至少n个点（不包括自己），则说明存在环
if (!st[j])
{
q.push(j);
st[j] = true;
}
}
}
}
return false;
}Floyd //可以处理带有负权边的图，但不能处理带有负环的图
🍓floyd算法:
时间复杂度是 O(n3), n 表示点数
初始化：
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
if (i == j) d[i][j] = 0;
else d[i][j] = INF;
// 算法结束后，d[a][b]表示a到b的最短距离
void floyd()
{
for (int k = 1; k <= n; k ++ )
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}最短路算法模板大总结：
我们只需考虑有向图上的算法，因为无向图是特殊的有向图。我们可以将所有无向边 u↔vu↔v，都拆分成两 条有向边：u←vu←v 和 u→vu→v。 为了方便叙述，我们做如下约定：n 表示图中点数，m 表示图中边数。
✨图的存储
图一般有两种存储方式：
邻接矩阵。开个二维数组，g[i][j] 表示点 i 和点 j 之间的边权。
邻接表。邻接表有两种常用写法，我推荐第二种，代码更简洁，效率也更高，后面有代码模板：
(1) 二维vector：vector<vector<int>> edge，edge[i][j] 表示第 i 个点的第 j 条邻边。
(2) 数组模拟邻接表：为每个点开个单链表，分别存储该点的所有邻边。
最短路算法
最短路算法分为两大类：
单源最短路，常用算法有：
(1) dijkstra，只有所有边的权值为正时才可以使用。在稠密图上的时间复杂度是 O(n2)，稀疏图上的时间复杂度是 O(mlogn)。
(2) spfa，不论边权是正的还是负的，都可以做。算法平均时间复杂度是 O(km)，k 是常数。 强烈推荐该算法。
多源最短路，一般用floyd算法。代码很短，三重循环，时间复杂度是 O(n3)。
算法模板
我们以 poj2387 Til the Cows Come Home 题目为例，给出上述所有算法的模板。
题目大意 给一张无向图，n 个点 m 条边，求从1号点到 n 号点的最短路径。
输入中可能包含重边。 dijkstra算法 O(n2)最裸的dijkstra算法，不用堆优化。每次暴力循环找距离最近的点。
只能处理边权为正数的问题。
图用邻接矩阵存储。
🍓C++ 代码
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010, M = 2000010, INF = 1000000000;
int n, m;
int g[N][N], dist[N]; // g[][]存储图的邻接矩阵, dist[]表示每个点到起点的距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短距离是否已确定
void dijkstra()
{
for (int i = 1; i <= n; i++) dist[i] = INF;
dist[1] = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
int id, mind = INF;
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (!st[j] && dist[j] < mind)
{
mind = dist[j];
id = j;
}
st[id] = 1;
for (int j = 1; j <= n; j++) dist[j] = min(dist[j], dist[id] + g[id][j]);
}
}
int main()
{
cin >> m >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
g[i][j] = INF;
for (int i = 0; i < m; i++)
{
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
}
dijkstra();
cout << dist[n] << endl;
return 0;
}dijkstra+heap优化 O(mlogn)
用堆维护所有点到起点的距离。时间复杂度是 O(mlogn)。
这里我们可以手写堆，可以支持对堆中元素的修改操作，堆中元素个数不会超过 n。也可以直接使用STL中的 priority_queue，但不能支持对堆中元素的修改，不过我们可以将所有修改过的点直接插入堆中，堆中会有重复 元素，但堆中元素总数不会大于 m。
只能处理边权为正数的问题。
图用邻接表存储。
🍓C++ 代码
typedef pair<int, int> PII;
int n; // 点的数量
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N]; // 存储所有点到1号点的距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短距离是否已确定
// 求1号点到n号点的最短距离，如果不存在，则返回-1
int dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
heap.push({0, 1}); // first存储距离，second存储节点编号
while (heap.size())
{
auto t = heap.top();
heap.pop();
int ver = t.second, distance = t.first;
if (st[ver]) continue;
st[ver] = true;
for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > distance + w[i])
{
dist[j] = distance + w[i];
heap.push({dist[j], j});
}
}
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}spfa算法 O(km)
bellman-ford算法的优化版本，可以处理存在负边权的最短路问题。
最坏情况下的时间复杂度是 O(nm)，但实践证明spfa算法的运行效率非常高，期望运行时间是 O(km) ，其中 k 是常数。 但需要注意的是，在网格图中，spfa算法的效率比较低，如果边权为正，则尽量使用 dijkstra 算法。
图采用邻接表存储。
队列为手写的循环队列。
🍓C++ 代码
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 1010, M = 2000010, INF = 1000000000;
int n, m;
int dist[N], q[N]; // dist表示每个点到起点的距离, q 是队列
int h[N], e[M], v[M], ne[M], idx; // 邻接表
bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中
void add(int a, int b, int c)
{
e[idx] = b, v[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
void spfa()
{
int hh = 0, tt = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) dist[i] = INF;
dist[1] = 0;
q[tt++] = 1, st[1] = 1;
while (hh != tt)
{
int t = q[hh++];
st[t] = 0;
if (hh == n) hh = 0;
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
if (dist[e[i]] > dist[t] + v[i])
{
dist[e[i]] = dist[t] + v[i];
if (!st[e[i]])
{
st[e[i]] = 1;
q[tt++] = e[i];
if (tt == n) tt = 0;
}
}
}
}
int main()
{
memset(h, -1, sizeof h);
cin >> m >> n;
for (int i = 0; i < m; i++)
{
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
add(a, b, c);
add(b, a, c);
}
spfa();
cout << dist[n] << endl;
return 0;
}floyd算法 O(n3)
标准弗洛伊德算法，三重循环。循环结束之后 d[i][j] 存储的就是点 i 到点 j 的最短距离。
需要注意循环顺序不能变：第一层枚举中间点，第二层和第三层枚举起点和终点。
由于这道题目的数据范围较大，点数最多有1000个，因此floyd算法会超时。
但我们的目的是给出算法模板哦~
🍓C++ 代码
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 1010, M = 2000010, INF = 1000000000;
int n, m;
int d[N][N]; // 存储两点之间的最短距离
int main()
{
cin >> m >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
d[i][j] = i == j ? 0 : INF;
for (int i = 0; i < m; i++)
{
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
d[a][b] = d[b][a] = min(c, d[a][b]);
}
// floyd 算法核心
for (int k = 1; k <= n; k++)
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
cout << d[1][n] << endl;
return 0;
}
