第一部分 最长上升子序列，最长上升子串，最长公共子序列，最长公共子串--dp

第二部分 KMP，trie，双指针

第三部分 待定

动态规划：审题，状态确定，状态转移，边界条件

线性DP

最长上升子序列

403 线性DP 最长上升子序列【动态规划】_哔哩哔哩_bilibili

给定一个无序整数数组，找出其中最长上升子序列（LIS）的长度。

输入：【5，7，1，9，4，6，2，8，3】

输出：4

解释：最长上升子序列是【1，4，6，8】，其长度是4

如何思考解决这个问题，用s表示这个数组，设f(i)表示以s[i]结尾的的最长上升子序列长度，边界条件f(0)=1,思考当i>=1时，f(i)与f(i-1)的关系，考虑s[i]和s[i-1]，或者考虑s[i]与s[0]...s[i-1]，至少有一点，f(i)大于等于f(i-1),遍历s[0]...s[i-1]，如果记录最大的j，使得s[j]<s[i],且j尽可能大，f(i)=max(f(i-1),f(j)+1)，该递推式有问题，修正，f(i)=max(f(i),f(j)+1)，这样就没有问题了，

比如5，7，1，9，4，6，2，8，3 

f(0)=1,f(1)=2,f(2)=1,f(3)=f(2)+1=3,f(4)=2,f(5)=3,f(6)=2,f(7)=4,f(8)=3 

上述的过程是可行的，记录最大的f(i)即可，就是答案，如果f(i)表示以s[i]结尾的子串的最长上升子序列，那么显然有f(i)大于f(i-1)，但是难以列出状态转移方程。

另外，设f(i)表示以s[i]开头的最长上升子序列长度，从后往前遍历，对于5，7，1，9，4，6，2，8，3 这列数，一共9个数，数组下标从0开始，初始条件f(8)=1，当s[i]<s[i+1]时，更新f(i)=max(f(i),f(i+1)+1)，

最长上升序列求解，重点在于如何将状态函数与字符串之间的关系唯一确定下来，如果采用以s[i]结尾的最长公共子序列长度作为f(i)的含义，从前往后搜索，可以得到转换公式；如果采用以s[i]开头的最长公共子序列长度作为f(i)的含义，改变搜索方向，同样可以得到转换的公式。如果采用s[0]...s[i]的最大上升子序列长度作为f(i)的含义，很难得到转换公式，f(i)的值（但是这个是根据题目含义最容易想的状态含义，难以求解出状态转移方程）

如何确定状态函数的含义

 定义f(i)表示爬到高度为i时需要的期望时间，由高度i-1可以转换为两个状态，分别是高度0，概率是pi；转换为高度i,概率是1-pi；在上述定义下，难以写出转换方程

定义f(i)为从高度为i爬到树顶需要的期望时间，则f(树高度)=0,状态转移是，f(i-1)=(1-pi)*f(i)+pi*f(0)+1，需要求解的就是从树的底部（高度为0）爬到树顶经过的时间的期望值f(0).

最长公共子序列

给定两个字符串，输出其最长公共子序列的长度，输入，ADABEC与DBDCA

输出：3

解释：最长公共子序列是DBC，长度是3

从左向右扫描两个字符串a,b，指针分别使用i和j，状态变量，看作自变量i和j的函数，数据结构实现可以使用二维数组，f(i,j)表示a[0]...a[i]与b[0]...b[j]的最长公共子序列长度，f(0,0)=0,状态转移方程，如果a[i]=b[j]，有f(i,j)=f(i-1,j-1)+1，如果a[i]!=b[j]，分为三种情况，分别是a[i]不在最长公共子序列中，f(i,j)=f(i-1,j),b[j]不在最长公共子序列中，f(i,j)=f(i,j-1),a[i]和b[j]都不在最长公共子序列中，f(i,j)=f(i-1,j-1),其中第三种可以看成前两种的特例，如果a[i]!=b[j]有f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i,j-1));  

最长上升子串

参考最长上升子序列做法，设f(i)表示以s[i]结尾的最长上升子串的长度，f(0)=0，如果s[i]>s[i-1],f(i)=f(i-1)+1,否则f(i)=0;最长上升子串长度是最大的f(j),j=0,1,...,n-1.

最长公共子串

参考最长公共子序列做法，设f(i,j)表示a[0]...a[i]和b[0]...b[j]的最长公共子串的长度，f(0,0)=0，如果a[i]!=b[j],f(i,j)=0;如果a[i]==b[j]，则f(i,j)=f(i-1,j-1)+1;

只有当两个字符串中的字符连续相等时，公共字串的长度才不断增加。

 

最长上升公共子串

参考最长公共子序列做法，设f(i,j)表示a[0]...a[i]和b[0]...b[j]的最长公共子串的长度，f(0,0)=0，如果a[i]!=b[j],f(i,j)=0;如果a[i]>a[i-1]且b[j]>b[j-1]且a[i]==b[j]且a[i-1]==b[j-1]，则f(i,j)=f(i-1,j-1)+1;如果a[i]==b[j]且a[i-1]==b[j-1]且a[i]>a[i-1]，则f(i,j)=f(i-1,j-1)+1;否则，如果a[i]==b[j]，则f(i,j)=1;，否则f(i,j)=0.

最长上升公共子序列