在前面的章节里，我们谈到了积分环节由于执行器的物理限制导致的积分项Wind-up，通过设置饱和限幅器，选择性关闭积分环节来完成Wind-up问题。
今天我们要解决的问题就是微分环节可能存在的问题。通过传感器我们可以观测出一个被控量的大小，和前面说到的anti-windup一样，受到物理环境的限制，对于传感器而言，那就是噪声。
我们知道微分环节其实就是对误差的一个求导，几何意义就是斜率，斜率越大，表示控制系统受到的影响也越大。如果噪声变化量很大（或者说频率很大）系统将会受到很大的影响。
测量导致的噪声
传感器是会受到周围环境的干扰，它反映的通常不是实际值。比如：
- Thermal noise
- Shot noise
- Flicker noise
- Brust noise
- Coupled noise
- White noise
我们感兴趣的是他们是如何影响我们的系统的。虽然对于某些控制规律中，只要噪声是一个低幅度的，他可以看成是对系统无关紧要的影响，但对这次要讲的理想PID而言是不一定的。
上图，黄色的斜线代表了高低频率噪声的斜率，斜率越大，对微分项影响也越大，从而会影响我们整个控制的输出。或者你可以从代数角度来解释，因为所有信号都可以看成是无穷个正弦信号的组合：
n
o
i
s
e
=
y
(
t
)
=
A
sin
(
ω
a
t
+
ϕ
a
)
+
B
sin
(
ω
b
t
+
ϕ
b
)
+
⋯
noise=y(t)=A\sin(\omega_at +\phi_a)+B\sin(\omega_b t+\phi_b)+\cdots
noise=y(t)=Asin(ωat+ϕa)+Bsin(ωbt+ϕb)+⋯
为了简化问题，我们只考虑第一项：
y
(
t
)
=
A
sin
(
ω
a
+
ϕ
a
)
y(t)=A\sin(\omega_a +\phi_a)
y(t)=Asin(ωa+ϕa)
其中，
A
A
A表示幅值，
ω
a
\omega_a
ωa角频率，
ϕ
\phi
ϕ相角。
对其进行求导：
y
(
t
)
=
A
⋅
ω
a
⋅
sin
(
ω
a
+
ϕ
a
+
9
0
∘
)
y(t)=A\cdot\omega_a\cdot\sin(\omega_a+\phi_a+90^{\circ})
y(t)=A⋅ωa⋅sin(ωa+ϕa+90∘)
只看幅值部分，有以下结论：
- 当 ω a > 1 r a d / s \omega_a> 1rad/s ωa>1rad/s 幅值变大
- 当 ω a < 1 r a d / s \omega_a<1rad/s ωa<1rad/s 幅值变小
可以画出以下图形：
随着角频率的增大，幅值也增大；反之，角频率越小，幅值也越小。我们想要的是设定一个合理的截断，降低其对微分项的影响。重新回到我们的PID图：
理想情况我们希望将所有噪声都分离出来，事实上不可能做到。索性的是，大多数噪声高幅值的通常具有较低频率，高频率的往往具有较低幅值。显然使用一个低通滤波器是合适的，比如说一阶低通滤波器。
设定一个截止频率，小于这个频率的都保留，大于这个频率的都过滤。这样的处理将会使得噪声对于我们的系统影响降低。
拉普拉斯变换
| 拉普拉斯域的传递函数 | 含义 |
|---|---|
| S | 微分 |
| 1/S | 积分 |
| N/(S+N) | 截止频率为N rad/s低通滤波器 |
考虑一个低通滤波器：
10
S
+
10
\frac{10}{S+10}
S+1010
常数项10就是代表截止频率为
10
r
a
d
/
s
10 rad/s
10rad/s的一阶低通滤波器。不过我们也会写成其他形式：
N
S
+
N
=
1
1
N
S
+
1
=
1
τ
S
+
1
\frac{N}{S+N}=\frac{1}{\frac{1}{N}S+1}=\frac{1}{\tau S+1}
S+NN=N1S+11=τS+11
因为频率的倒数是时间，所以这个
τ
\tau
τ也被称为时间常数。
OK！
这里再提一下，如果实现等价方法(积分反馈回路)：
那么我们如何在这两种方法中选择呢？第一种方法逻辑清晰易懂，但是实现起来效率不高，第二种则是抽象，但是效率较高。
来看看matlab中simulink是如何使用的：
可以看出，Simulink中的微分项是：
D
N
1
+
N
1
s
D\frac{N}{1+N\frac{1}{s}}
D1+Ns1N
显然他不是一纯粹的微分环节，他是带了低通滤波，截止频率为
N
N
N.
