二叉树：每个子节点只有两个节点的树，每个结点至多拥有两棵子树(即二叉树中不存在度大于2的结
点)，并且，二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒
我们一般在解题过程中二叉树有两种主要的形式：满二叉树和完全二叉树。
满二叉树
满二叉树：如果一棵二叉树只有度为0的结点和度为2的节点，并且度为0的节点在同一层上，则这棵二叉树为满二叉树。
如图所示：
这棵二叉树为满二叉树，也可以说深度为k，有2^k-1个节点的二叉树。
完全二叉树
完全二叉树的定义如下：在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层，则该层包含 1~ 2^(h-1) 个节点。
二叉树遍历操作
二叉树中的遍历规则有如下三种：
前序遍历：所谓的前序遍历就是先访问根节点，再访问左节点，最后访问右节点，即根-左-右遍历(前序)
中序遍历：所谓的中序遍历就是先访问左节点，再访问根节点，最后访问右节点，即左-根-右遍历
后序遍历：所谓的后序遍历就是先访问左节点，再访问右节点，最后访问根节点。即左-右-根遍
查找最小值：沿着根节点的左子树一路查找，直到最后一个不为空的节点，该节点就是当前这个树的最
小节点
查找最大值：沿着根节点的右子树一路查找，直到最后一个不为空的节点，该节点就是当前这个树的最
大节点
查找前驱节点：小于当前节点的最大值
查找后继节点：大于当前节点的最小值
删除节点
二叉树中的删除节点：本质上是找前驱节点或者后继节点来替代
- 叶子节点直接删除
- 只有一个子节点的用子节点替代(本质上就是找的前驱节点或者后继节点，左节点就是前驱节点，右
节点就是后继节点) - 有两个子节点的，需要找到替代节点(替代节点就是前驱节点或者后继节点）
二叉搜索树
前面介绍的树，都没有数值的，而二叉搜索树是有数值的了，二叉搜索树是一个有序树。
- 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
- 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
- 它的左、右子树也分别为二叉排序树
下面这两棵树都是搜索树
但是 一个二叉搜索树是由n个节点随机构成,所以，对于某些情况,二叉搜索树会退化成一个有n个节点的线
性链.如下图
平衡二叉搜索树
平衡二叉搜索树：又被称为AVL（Adelson-Velsky and Landis）树，且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。
如图：
最后一棵 不是平衡二叉树，因为它的左右两个子树的高度差的绝对值超过了1。
2-3-4树
2-3-4树是四阶的 B树(Balance Tree)，他属于一种多路查找树，它的结构有以下限制：
所有叶子节点都拥有相同的深度。
节点只能是 2-节点、3-节点、4-节点之一。
- 2-节点：包含1个元素的节点，有2个子节点
- 3-节点：包含2个元素的节点，有3个子节点
- 4-节点：包含3个元素的节点，有4个子节点
所有节点必须至少包含1个元素
元素始终保持排序顺序，整体上保持二叉查找树的性质，即父结点大于左子结点，小于右子结点；
而且结点有多个元素时，每个元素必须大于它左边的和它的左子树中元素。
如图所示：
2-3-4树的查询操作像普通的二叉搜索树一样，非常简单，但由于其结点元素数不确定，在一些编程
语言中实现起来并不方便，实现一般使用它的等同——红黑树
2-3-4树生成过程
第一次插入—2节点
插入第二个节点–3节点 合并
插入第三个节点—4节点 合并
插入第4个节点—需要分裂
插入6
插入7
插入8
插入9
插入10
插入11
插入12
最后插入1
和红黑树的等价关系
红黑树起源于2-3-4树，它的本质就是2-3-4树。
2节点
一个2节点对应的红黑树节点就是一个黑色节点
3节点
一个三节点可以有两种情况的红黑树节点，一种是右倾，一种是左倾，所以一个2-3-4树可以有多个红黑
树
原则 上黑下红
4节点
一个四节点转换的情况只有一种，中间节点黑色，左右节点红色
裂变状态
还有就是在2-3-4树中存在的裂变状态。转换为红黑树后会先变色(不能有两个相邻的红色节点)
转换为红黑树
2-3-4树是如何转换为对应的红黑树的?
原始的2-3-4树
按照右倾规则来转换为
转换后满足黑色节点平衡的要求
按照左倾规则来转换为
红黑树
红黑树，Red-Black Tree 「RBT」是一个自平衡(不是绝对的平衡)的二叉查找树(BST)，树上的每个节点
都遵循下面的规则：
- 每个节点要么是黑色，要么是红色。
- 根节点是黑色。
- 每个叶子节点（NIL）是黑色。
- 每个红色结点的两个子结点一定都是黑色。
- 任意一结点到每个叶子结点的路径都包含数量相同的黑结点。
红黑树能自平衡，它靠的是什么？三种操作：左旋、右旋和变色
| 操作 | 描述 |
|---|---|
| 左旋 | 以某个结点作为支点(旋转结点)，其右子结点变为旋转结点的父结点，右子结点的左子结点变为旋转结点的右子结点，左子结点保持不变。 |
| 右旋 | 以某个结点作为支点(旋转结点)，其左子结点变为旋转结点的父结点，左子结点的右子结点变为旋转结点的左子结点，右子结点保持不变。 |
| 变色 | 结点的颜色由红变黑或由黑变红 |
旋转操作
左旋：以某个节点作为旋转点，其右子节点变为旋转节点的父节点，右子节点的左子节点变为旋转节点的右子节点，左子节点保持不变。
右旋：以某个节点作为旋转点，其左子节点变为旋转节点的父节点，左子节点的右子节点变为旋转节点的左子节点，右子节点保持不变。
代码实现：
类结构定义
public class BRTree {
private static final boolean RED = false;
private static final boolean BLACK = true;
private RBNode root;
public RBNode getRoot() {
return root;
}
public void setRoot(RBNode root) {
this.root = root;
}
/**
* 表示 节点
* @param <K>
* @param <V>
*/
static class RBNode<K extends Comparable<K>,V>{
// 节点是双向的
private RBNode parent;
private RBNode left;
private RBNode right;
private boolean color;
private K key;
private V value;
public RBNode() {
}
public RBNode(RBNode parent, RBNode left, RBNode right, boolean color, K
key, V value) {
this.parent = parent;
this.left = left;
this.right = right;
this.color = color;
this.key = key;
this.value = value;
}
public RBNode getParent() {
return parent;
}
public void setParent(RBNode parent) {
this.parent = parent;
}
public RBNode getLeft() {
return left;
}
public void setLeft(RBNode left) {
this.left = left;
}
public RBNode getRight() {
return right;
}
public void setRight(RBNode right) {
this.right = right;
}
public boolean isColor() {
return color;
}
public void setColor(boolean color) {
this.color = color;
}
public K getKey() {
return key;
}
public void setKey(K key) {
this.key = key;
}
public V getValue() {
return value;
}
public void setValue(V value) {
this.value = value;
}
}
}
左旋代码实现
/**
* 实现左旋
* p pr
* / \ / \
* pl pr ==> p rr
* / \ / \
* rl rr pl rl
* 左旋操作：
* p-pl 和pr -rr的关系不需要调整
* 需要调整的情况
* 1.pr-rl 调整为 p-rl
* 将rl变为p的右子节点
* 将p设置为rl的父节点
* 2. 判断p是否右父节点
* 有：
* pr.parent=p.parent
* pr为p.parent的子节点，到底是左子节点还是右子节点呢？
* if(p.parent.left==p)
* p.parent.left=pr
* else{
* P.parent.right=r
* }
* 没有：
* 直接把pr设置为root节点
* 3.最后p和pr交换
* p.parent=pr
* pr.left=p
*
* @param p
*/
private void leftRotate(RBNode p) {
if (p != null) {
//获取到了pr节点
RBNode pr = p.right;
//情况1：pr-rl调整为p-rl
p.right = pr.left;
if (pr.left != null) {
pr.left.parent = p;
}
//情况2：判断P节点是否有父节点
pr.parent = p.parent;//不管是否存在父节点，我们都设置P的父节点也为pr的父节点
if (p.parent == null) {
//说明P就是root节点，这时pr会变成新的root节点
root = pr;
} else if (p.parent.left == p) { //说明p存在父节点
//说明p是父节点的左子节点，那么pr也肯定是p的父节点的左子节点
p.parent.left = pr;
} else {
p.parent.right = pr;
}
//情况3：设置p为pr的左子节点
pr.left = p;
p.parent = pr;
}
}
右旋代码实现
private void rightRotate(RBNode p) {
if (p != null) {
//获取到了pr节点
RBNode pr = p.left;
//情况1：pr-rl调整为p-rl
p.left = pr.right;
if (pr.right != null) {
pr.right.parent = p;
}
//情况2：判断P节点是否有父节点
pr.parent = p.parent;//不管是否存在父节点，我们都设置P的父节点也为pr的父节点
if (p.parent == null) {
//说明P就是root节点，这时pr会变成新的root节点
root = pr;
} else if (p.parent.left == p) { //说明p存在父节点
//说明p是父节点的左子节点，那么pr也肯定是p的父节点的左子节点
p.parent.left = pr;
} else {
p.parent.right = pr;
}
//情况3：设置p为pr的左子节点
pr.right = p;
p.parent = pr;
}
}
