区间信息维护与查询【分块】 - 原理 分块详解

树状数组和线段树虽然非常方便，但维护的信息必须满足信息合并特性（如区间可加、可减），若不满足此特性，则不可以使用树状数组和线段树。分块算法可以维护一些线段树维护不了的内容，它其实就是优化过后的暴力算法。

分块可以解决几乎所有区间更新和区间查询问题，但效率相对于线段树等数据结构要差一些。

分块算法是将所有数据都分为若干块，维护块内信息，使得块内查询为O (1)时间，而总询问可被看作若干块询问的总和。

分块算法将长度为n 的序列分成若干块，每一块都有k 个元素，最后一块可能少于k 个元素。

为了使时间复杂度均摊，通常将块的大小设为k = √n ，用pos[i ]表示第i 个位置所属的块，对每个块都进行信息维护。分块可以解决以下问题。

• 单点更新：一般先将对应块的懒标记下传，再暴力更新块的状态，时间复杂度为O (√n)。
• 区间更新：若区间更新横跨若干块，则只需对完全覆盖的块打上懒标记，最多需要修改两端的两个块，对两端剩余的部分暴力更新块的状态。每次更新都最多遍历 √n 个块，遍历每个块的时间复杂度都是O(1)，两端的两个块暴力更新 √n 次，总的时间复杂度是O (√n)。
• 区间查询：和区间更新类似，对中间跨过的整个块直接利用块存储的信息统计答案，对两端剩余的部分可以暴力扫描统计。时间复杂度和区间修改一样，也是O (√n)。

将整个段分成多个块后进行修改或查询时，对完全覆盖的块直接进行修改，像线段树一样标记或累加；对两端剩余的部分进行暴力修改。

分块算法遵循**“大段维护、局部朴素”**的原则。

【1】预处理

① 将序列分块，然后将每个块都标记左右端点L[i ]和R[i ]，对最后一块需要特别处理。n =10，t = √n =3，每3个元素为一块，一共分为4块，最后一块只有一个元素。

算法代码：

t = sqrt(n * 1.0); //float sqrt (float) , double sqrt (double) , double long sqrt(double long)

int num = n / t;
if(n % t) num ++;

for(int i = 1 ; i <= num ; i++){
	L[i] = (i - 1) * t + 1; // 每一块的左右端点
	R[i] = i * t;
}

R[num] = n;

② 用pos[]标记每个元素所属的块，用sum[]累加每一块的和值。

算法代码：

for(int i = 1; i <= num ; i ++){
	
	for(int j = L[i] ; j <= R[i] ; j++){
		
		pos[j] = i; //表示属于哪个块
		sum[i] += a[j]; //计算每块的和值
	}
}

【2】 区间更新

区间更新，例如将[l , r ]区间的元素都加上d 。

① 求l 和r 所属的块，p =pos[l ]，q =pos[r ]。

② 若属于同一块（p =q ），则对该区间的元素进行暴力修改，同时更新该块的和值。

③ 若不属于同一块，则对中间完全覆盖的块打上懒标记，add[i]+=d ，对首尾两端的元素进行暴力修改。

例如，将[3, 8]区间的元素都加上5，操作过程：①读取3和8所属的块p =pos[3]=1，q =pos[8]=3，不属于同一块，中间的完整块[p +1,q -1]为第2块，为该块打上懒标记add[2]+=5；②对首尾两端的元素（下标3、7、8）进行暴力修改，并修改和值。

算法代码：

void change(int l , int r, long long d){ // [l ,r] 区间的元素加d
	
	int p = pos[l] , q = pos[r]; //读取所属的块
	if(p == q){ // 在同一块中
		for(int i = 1; i <= r ; i ++){ // 暴力修改
			a[i] += d;
		}
		sum[p] += d * (r - l + 1); //修改和值
	}
	else{
		for(int i = p + 1 ; i <= q - 1; i ++){ // 对中间完全覆盖的块打懒标记
			add[i] += d;	
		}
		for(int i = 1; i <= R[p] ; i++){ // 左端暴力修改
			a[i] += d;
		}
		sum[p] += d * (R[p] - l + 1); //修改和值
		for(int i = L[q] ; i <= r ; i++){ // 右端暴力修改
			a[i] += d;
		}
		sum[q] += d * (r - L[q] + 1); //修改和值
	}
}

【3】区间查询

区间查询，例如查询[l , r ]区间的元素和值。

① 求l 和r 的所属块，p =pos[l ]，q =pos[r ]。

② 若属于同一块（p =q ），则对该区间的元素进行暴力累加，然后加上懒标记上的值。

③ 若不属于同一块，则对中间完全覆盖的块累加sum[]值和懒标记上的值，然后对首尾两端暴力累加元素值及懒标记值。

例如，查询[2, 7]区间的元素和值，操作过程：①读p=pos[2]=1，q =pos[7]=3，不属于同一块，则中间的完整块[p +1, q-1]为第2块，ans+=sum[2]+add[2]×(R[2]-L[2]+1)=42+5×3=57；②对首尾两端的元素暴力累加元素值及懒标记值。此时懒标记add[1]=add[3]=0，ans+=5+7+add[1]×(3-2+1)+9+add[3]×(7-7+1)=78。

算法代码：

ll ask(int l , int r){ // 区间查询
	
	int p = pos[l] , q = pos[r];
	ll ans = 0;
	
	if(p == q){ // 在同一块中
		for(int i = l ; i <= r;  i++){ // 累加
			ans += a[i];
		}
		ans += add[p] * (r - l + 1); // 计算懒标记
	}
	else{
		for(int i = p + 1; i <= q - 1; i ++){ // 累加中间段落
			ans += sum[i] + add[i] * (R[i] - L[i] + 1);
		}
		for(int i = l ; i <= R[p] ; i ++){ // 左端暴力累加
			ans += a[i];
		}
		ans += add[p] * (R[p] - l + 1);
		for(int i  = L[q]; i <= r; i ++){ //右端暴力累加
			ans += a[i];
		}
		ans += add[q] * (r - L[q] + 1);
	}
	return ans;
}