引言

上一节介绍了$\text{Softmax}$回归的反向传播过程。本节将介绍递归神经网络的反向传播过程。

回顾：递归神经网络的前馈计算过程

场景构建

已知某特定时刻的递归神经网络神经元表示如下：

其中：

• $x_t$表示数据在$t$时刻的输入，其维度格式为 $x_t\in {\mathbb{R}}^{n_x\times m\times 1}$。其中$n_x$表示当前时刻输入向量的维数；$m$表示样本数量；$1$则表示当前所在时刻$t$。

  • 输入向量可能是‘词向量’，或者是其他描述序列单位的向量。而$n_x$描述该向量的大小。
  • $m$可表示为当前$\text{Batch}$内的样本数量。
  • 对应完整序列数据$\mathcal{X}$可表示为如下形式。其中$\mathcal{T}$表示输入时刻的具体数量。
    $$\mathcal{X}=(x_1,x_2,\cdots ,x_t,x_{t+1},\cdots ,x_{\mathcal{T}}{)}^T\in {\mathbb{R}}^{n_x\times m\times \mathcal{T}}$$

• $h_t$表示$t$时刻的序列信息，也是要传递到$t+1$时刻的值；它的维度格式表示为：
  这里$n_h$表示隐藏状态的维数大小;它由参数${\mathcal{W}}_{\mathcal{H}\Rightarrow \mathcal{H}},{\mathcal{W}}_{\mathcal{H}\Rightarrow \mathcal{X}}$决定;$h_{t+1}\in {\mathbb{R}}^{n_h\times m\times 1}$同理。
  $$h_t\in {\mathbb{R}}^{n_h\times m\times 1}$$
  对应的隐藏层矩阵$\mathcal{H}\in {\mathbb{R}}^{n_h\times m\times \mathcal{T}}$。因为每一进入一个输入，都会得到一个相应更长的序列信息。因此$\mathcal{X},\mathcal{H}$共用同一个$\mathcal{T}$。

• ${\mathcal{O}}_{t+1}$表示数据传入后计算产生的预测值，它的维度格式表示为：
  其中$n_{\mathcal{O}}$表示预测输出结果的长度。
  $${\mathcal{O}}_{t+1}\in {\mathbb{R}}^{n_{\mathcal{O}}\times m\times 1}$$
  同理，对应的输出矩阵$\mathcal{O}\in {\mathbb{R}}^{n_{\mathcal{O}}\times m\times {\mathcal{T}}_{\mathcal{O}}}$,这里的${\mathcal{T}}_{\mathcal{O}}$表示输出时刻的数量。需要注意的是，${\mathcal{T}}_{\mathcal{O}}$和$\mathcal{T}$是两个概念。输出的序列长度和输入长度无关，它与权重参数${\mathcal{W}}_{\mathcal{H}\Rightarrow \mathcal{O}}$相关。

前馈计算描述

为了方便描述，将上述过程中的序列下标表示为序列上标：
$$x_t,h_t,h_{t+1},{\mathcal{O}}_{t+1}\Rightarrow x^{(t)},h^{(t)},h^{(t+1)},{\mathcal{O}}^{(t+1)}$$

关于第$t$时刻神经元的前馈计算过程表示如下：
需要注意的是，这里的$h^{(t+1)},{\mathcal{O}}^{(t+1)}$表示对下一时刻信息的预测，而这个预测过程是在$t$时刻完成的。

• 序列信息$h^{(t+1)}$的计算过程：
  $$\{\begin{array}{l}{\mathcal{Z}}_1^{(t)}={\mathcal{W}}_{h^{(t)}\Rightarrow h^{(t+1)}}\cdot h^{(t)}+{\mathcal{W}}_{x^{(t)}\Rightarrow h^{(t+1)}}\cdot x^{(t)}+b_{h^{(t+1)}}\\ \\ h^{(t+1)}=\text{Tanh}({\mathcal{Z}}_1^{(t)})\end{array}$$
• 预测值${\mathcal{O}}^{(t+1)}$的计算过程：
  关于后验概率${\mathcal{P}}_{model}[{\mathcal{O}}^{(t+1)}\mid x^{(t)},h^{(t+1)}]$本质上是一个分类任务——从该分布中选择概率最高的结果作为$x^{(t+1)}$的结果，这里使用$\text{Softmax}$函数对各结果对应的概率分布信息进行评估。
  $$\{\begin{array}{l}{\mathcal{Z}}_2^{(t+1)}={\mathcal{W}}_{h^{(t+1)}\Rightarrow {\mathcal{O}}^{(t+1)}}\cdot h^{(t+1)}+b_{{\mathcal{O}}^{(t+1)}}\\ \\ \begin{array}{rl}{\mathcal{O}}^{(t+1)}& =\text{Softmax}({\mathcal{Z}}_2^{(t+1)})\\ & =\frac{\exp \left\{{\mathcal{Z}}_2^{(t+1)}\right\}}{{\sum }_{i=1}^{n_{\mathcal{O}}}\exp \left\{{\mathcal{Z}}_{2;i}^{(t+1)}\right\}}\end{array}\end{array}$$

其中，公式中出现的各参数维度格式表示如下：
$$\begin{array}{rl}& {\mathcal{Z}}_1:\{\begin{array}{l}{\mathcal{W}}_{h^{(t)}\Rightarrow h^{(t+1)}}\in {\mathbb{R}}^{1\times n_h}\Rightarrow {\mathcal{W}}_{\mathcal{H}\Rightarrow \mathcal{H}}\in {\mathbb{R}}^{n_h\times n_h}\\ {\mathcal{W}}_{x^{(t)}\Rightarrow h^{(t+1)}}\in {\mathbb{R}}^{1\times n_x}\Rightarrow {\mathcal{W}}_{\mathcal{X}\Rightarrow \mathcal{H}}\in {\mathbb{R}}^{n_h\times n_x}\\ b_{h^{(t+1)}}\in {\mathbb{R}}^{1\times 1}\Rightarrow b_{\mathcal{H}}\in {\mathbb{R}}^{n_h\times 1}\end{array}\\ & {\mathcal{Z}}_2:\{\begin{array}{l}{\mathcal{W}}_{h^{(t+1)}\Rightarrow {\mathcal{O}}^{(t+1)}}\in {\mathbb{R}}^{}\Rightarrow {\mathcal{W}}_{\mathcal{H}\Rightarrow \mathcal{O}}\in {\mathbb{R}}^{n_{\mathcal{O}}\times n_h}\\ b_{{\mathcal{O}}^{(t+1)}}\in {\mathbb{R}}^{1\times 1}\Rightarrow b_{\mathcal{O}}\in {\mathbb{R}}^{n_{\mathcal{O}}\times 1}\end{array}\end{array}$$

反向传播过程各参数的梯度计算

各时刻损失函数梯度计算

假设损失函数$\mathcal{J}$是描述真实目标$[y{]}_{n_{\mathcal{O}}\times m\times {\mathcal{T}}_{\mathcal{O}}}$与预测结果${\mathcal{O}}_{n_{\mathcal{O}}\times m\times {\mathcal{T}}_{\mathcal{O}}}$之间的交叉熵$(\text{CrossEntropy})$累积结果。具体表示如下：
$$\begin{array}{rl}\mathcal{J}& =\sum _{t=1}^{{\mathcal{T}}_{\mathcal{O}}}{\mathcal{L}}^{(t)}\\ {\mathcal{L}}^{(t)}& =-\sum _{i=1}^{n_{\mathcal{O}}}{y}_i^{(t)}\log {\mathcal{O}}_i^{(t)}\end{array}$$
首先计算$\mathcal{J}$对${\mathcal{L}}^{(t)}$的梯度结果$\begin{array}{r}\frac{\partial \mathcal{J}}{\partial {\mathcal{L}}^{(t)}}\end{array}$：
牛顿-莱布尼兹公式。
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial \mathcal{J}}{\partial {\mathcal{L}}^{(t)}}& =\sum _{k=1}^{{\mathcal{T}}_{\mathcal{O}}}\frac{\partial {\mathcal{L}}^{(k)}}{\partial {\mathcal{L}}^{(t)}}\\ & =\underset{k\ne t}{\underbrace{0+0+\cdots +0}}+\underset{k=t}{\underbrace{1}}\\ & =1\end{array}$$

损失函数对各时刻神经元输出的梯度计算

其次，计算${\mathcal{L}}^{(t)}$对${\mathcal{O}}^{(t)}$的梯度结果$\begin{array}{r}\frac{\partial {\mathcal{L}}^{(t)}}{\partial {\mathcal{O}}^{(t)}}\end{array}$：
这仅仅是交叉熵的梯度结果。这里需要使用‘标量对向量求导’。
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial {\mathcal{L}}^{(t)}}{\partial {\mathcal{O}}^{(t)}}& =\frac{\partial }{\partial {\mathcal{O}}^{(t)}}\left[-\sum _{i=1}^{n_{\mathcal{O}}}{y}_i^{(t)}\log {\mathcal{O}}_i^{(t)}\right]\\ & =\left\{\frac{\partial }{\partial {\mathcal{O}}_1^{(t)}}\left[-(\underset{{\mathcal{O}}_1^{(t)}相关}{\underbrace{y_1^{(t)}\log {\mathcal{O}}_1^{(t)}}}+\underset{{\mathcal{O}}_1^{(t)}无关}{\underbrace{\cdots +y_{n_{\mathcal{O}}}^{(t)}\log {\mathcal{O}}_{n_{\mathcal{O}}}^{(t)}}})\right],\cdots ,\frac{\partial }{\partial {\mathcal{O}}_{n_{\mathcal{O}}}^{(t)}}\left[-(\underset{{\mathcal{O}}_{n_{\mathcal{O}}}^{(t)}无关}{\underbrace{y_1^{(t)}\log {\mathcal{O}}_1^{(t)}+\cdots }}+\underset{{\mathcal{O}}_{n_{\mathcal{O}}}^{(t)}相关}{\underbrace{y_{n_{\mathcal{O}}}^{(t)}\log {\mathcal{O}}_{n_{\mathcal{O}}}^{(t)}}})\right]\right\}\\ & =\left[\frac{\partial }{\partial {\mathcal{O}}_1^{(t)}}(-y_1^{(t)}\log {\mathcal{O}}_1^{(t)}),\cdots ,\frac{\partial }{\partial {\mathcal{O}}_{n_{\mathcal{O}}}^{(t)}}(-y_{n_{\mathcal{O}}}^{(t)}\log {\mathcal{O}}_{n_{\mathcal{O}}}^{(t)})\right]\\ & ={\left[-\frac{y_1^{(t)}}{{\mathcal{O}}_1^{(t)}},\cdots ,-\frac{y_{n_{\mathcal{O}}}^{(t)}}{{\mathcal{O}}_{n_{\mathcal{O}}}^{(t)}}\right]}_{1\times n_{\mathcal{O}}}\end{array}$$

$\text{Softmax}$回归的梯度计算

计算${\mathcal{O}}^{(t)}$对${\mathcal{Z}}_2^{(t)}$的梯度结果$\begin{array}{r}\frac{\partial {\mathcal{O}}^{(t)}}{\partial {\mathcal{Z}}_2^{(t)}}\end{array}$：
这里用到了$\text{Softmax}$回归的反向传播过程。详见Softmax函数的反向传播过程
其中${\mathcal{Z}}_2^{(t)}=({\mathcal{Z}}_{2;1}^{(t)},{\mathcal{Z}}_{2;2}^{(t)},\cdots ,{\mathcal{Z}}_{2;n_{\mathcal{O}}}^{(t)}{)}_{1\times n_{\mathcal{O}}}$
∂ O ( t ) ∂ Z 2 ( t ) = [ ∂ O i ( t ) ∂ Z 2 ; j ( t ) ] n O × n O i , j ∈ { 1 , 2 , ⋯   , n O } \frac{\partial \mathcal O^{(t)}}{\partial \mathcal Z_2^{(t)}} = \left[\frac{\partial \mathcal O_i^{(t)}}{\partial \mathcal Z_{2;j}^{(t)}}\right]_{n_{\mathcal O} \times n_{\mathcal O}} \quad i,j \in \{1,2,\cdots,n_{\mathcal O}\} ∂Z2(t)​∂O(t)​=[∂Z2;j(t)​∂Oi(t)​​]nO​×nO​​i,j∈{1,2,⋯,nO​}
对应地，$\begin{array}{r}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\mathcal{Z}}_2^{(t)}}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\mathcal{L}}^{(t)}}\cdot \frac{\partial {\mathcal{L}}^{(t)}}{\partial {\mathcal{O}}^{(t)}}\cdot \frac{\partial {\mathcal{O}}^{(t)}}{\partial {\mathcal{Z}}_2^{(t)}}\end{array}$可表示为：
并且将$\begin{array}{r}\frac{\partial {\mathcal{O}}_i^{(t)}}{\partial {\mathcal{Z}}_{2;j}^{(t)}}(i,j=1,2,\cdots ,n_{\mathcal{O}})=\{\begin{array}{l}{\mathcal{O}}_i^{(t)}\cdot (1-{\mathcal{O}}_j^{(t)})i=j\\ -{\mathcal{O}}_i^{(t)}\cdot {\mathcal{O}}_j^{(t)}i\ne j\end{array}\end{array}$代入到式子中。
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\mathcal{Z}}_2^{(t)}}& =1\times {\left[-\frac{y_1^{(t)}}{{\mathcal{O}}_1^{(t)}},\cdots ,-\frac{y_{n_{\mathcal{O}}}^{(t)}}{{\mathcal{O}}_{n_{\mathcal{O}}}^{(t)}}\right]}_{1\times n_{\mathcal{O}}}\cdot {\left[\frac{\partial {\mathcal{O}}_i^{(t)}}{\partial {\mathcal{Z}}_{2;j}^{(t)}}\right]}_{n_{\mathcal{O}}\times n_{\mathcal{O}}}\\ & ={\left[-\sum _{i=1}^{n_{\mathcal{O}}}\frac{y_i^{(t)}}{{\mathcal{O}}_i^{(t)}}\cdot \frac{\partial {\mathcal{O}}_i^{(t)}}{\partial {\mathcal{Z}}_{2;j}^{(t)}}\right]}_{1\times n_{\mathcal{O}}}j=1,2,\cdots ,n_{\mathcal{O}}\end{array}$$
可以看出，该结果是一个$1\times n_{\mathcal{O}}$的向量。以其中第一项为例：
$$\begin{array}{rl}j=1& \Rightarrow -\sum _{i=1}^{n_{\mathcal{O}}}\frac{y_i^{(t)}}{{\mathcal{O}}_i^{(t)}}\cdot \frac{\partial {\mathcal{O}}_i^{(t)}}{\partial {\mathcal{Z}}_{2;1}^{(t)}}\\ & ={\mathcal{O}}_1^{(t)}-y_1^{(t)}\end{array}$$
同理，其他项同第一项操作，最终得到$\begin{array}{r}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\mathcal{Z}}_2^{(t)}}\end{array}$为：
很简练的一个结果，基于交叉熵与$\text{Softmax}$的反向传播梯度结果。
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\mathcal{Z}}_2^{(t)}}& ={\left[{\mathcal{O}}_j^{(t)}-y_j^{(t)}\right]}_{1\times n_{\mathcal{O}}}j=1,2,\cdots ,n_{\mathcal{O}}\\ & ={\mathcal{O}}^{(t)}-y^{(t)}\end{array}$$
但由于$[y^{(t)}{]}_{n_{\mathcal{O}}\times m\times 1}$是$t$时刻的真实分布，因此它有如下性质：
即$y^{(t)}$内仅有一个值为$1$其余值均为$0$,这是真实样本给出的分布。
∑ j = 1 n O y j ( t ) = 1 ; y j ( t ) ∈ { 0 , 1 } \sum_{j=1}^{n_{\mathcal O}} y_j^{(t)} = 1;y_j^{(t)} \in \{0,1\} j=1∑nO​​yj(t)​=1;yj(t)​∈{0,1}
因此，描述每个分量$\begin{array}{r}{\left({\nabla }_{{\mathcal{Z}}_2^{(t)}}\mathcal{L}\right)}_j=\left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\mathcal{Z}}_{2;j}^{(t)}}\right](j=1,2,\cdots ,n_{\mathcal{O}})\end{array}$可表示为如下形式：
其中$1_{j,y^{(t)}}$表示向量$y^{(t)}$中第$j$个分量 y j ( t ) ∈ { 0 , 1 } y_j^{(t)}\in \{0,1\} yj(t)​∈{0,1}的具体结果。
该式子对应《机器学习》(花书) P234 10.2.2 公式10.18。
$$({\nabla }_{{\mathcal{Z}}_2^{(t)}}\mathcal{L}{)}_j={\mathcal{O}}_j^{(t)}-1_{j,y^{(t)}}$$

关于$h^{(t)}$的综合反向传播梯度

继续反向传播，计算梯度$\begin{array}{r}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial h^{(t)}}\end{array}$：
后续的线性计算结果不展开写了。
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial h^{(t)}}& =\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\mathcal{Z}}_2^{(t)}}\cdot \frac{\partial {\mathcal{Z}}_2^{(t)}}{\partial h^{(t)}}\\ & ={\left[{\mathcal{W}}_{h^{(t)}\Rightarrow {\mathcal{O}}^{(t)}}\right]}^T\cdot {\nabla }_{{\mathcal{Z}}_2^{(t)}}\mathcal{L}\end{array}$$
实际上，关于$h^{(t)}$的梯度一共包含两个部分：一个是从${\mathcal{O}}^{(t)}$传播过来的梯度结果；另一个是从$h^{(t+1)}$方向传播过来的梯度结果：
上图并没有描述出来，这里进行补充。
上面的梯度结果是从${\mathcal{O}}^{(t)}$传播下来的梯度。

关于$h^{(t+1)}$向$h^{(t)}$传播的梯度表示为：
其中${\nabla }_{h^{(t+1)}}\mathcal{L}$就是$\begin{array}{r}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial h^{(t+1)}}\end{array}$,它和$\begin{array}{r}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial h^{(t)}}\end{array}$的情况完全相同，只是下标不同而已。为书写方便，后面不再展开。
$${\left(\frac{\partial h^{(t+1)}}{\partial h^{(t)}}\right)}^T\cdot {\nabla }_{h^{(t+1)}}\mathcal{L}\left({\nabla }_{h^{(t+1)}}\mathcal{L}={\left[{\mathcal{W}}_{h^{(t+1)}\Rightarrow {\mathcal{O}}^{(t+1)}}\right]}^T\cdot {\nabla }_{{\mathcal{Z}}_2^{(t+1)}}\mathcal{L}\right)$$

其中，$\begin{array}{r}\frac{\partial h^{(t+1)}}{\partial h^{(t)}}\end{array}$中包含${\mathcal{W}}_{h^{(t)}\Rightarrow h^{(t+1)}}$的梯度以及$\text{Tanh}$激活函数的梯度：
其中$\text{Diag}[1-\text{Tanh}({\mathcal{Z}}_1^{(t)}{)}^2]$在数值稳定性一节中介绍过与其相似的$\text{ReLU}$激活函数的表达形式。它实际上是关于$\text{Tanh}$梯度的雅可比矩阵。除去对角线元素外，其余位置元素均为$0$。
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial h^{(t+1)}}{\partial h^{(t)}}& =\frac{\partial h^{(t+1)}}{\partial {\mathcal{Z}}_1^{(t)}}\cdot \frac{\partial {\mathcal{Z}}_1^{(t)}}{\partial h^{(t)}}\\ & =\text{Diag}[1-\text{Tanh}({\mathcal{Z}}_1^{(t)}{)}^2]\cdot {\mathcal{W}}_{h^{(t)}\Rightarrow h^{(t+1)}}\end{array}$$
因此，从$h^{(t+1)}$方向传播过来的梯度可表示为：
$$[{\mathcal{W}}_{h^{(t)}\Rightarrow h^{(t+1)}}{]}^T\cdot ({\nabla }_{h^{(t+1)}}\mathcal{L})\cdot \text{Diag}[1-\text{Tanh}({\mathcal{Z}}_1^{(t)}{)}^2]$$
最终，将两个角度的梯度结果相加，得到最终$h^{(t)}$的梯度结果：
对应《机器学习》(花书) P234 10.2.2 公式10.21。
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial h^{(t)}}& =\frac{\partial {\mathcal{L}}^{(t)}}{\partial h^{(t)}}+\frac{\partial {\mathcal{L}}^{(t+1)}}{\partial h^{(t+1)}}\cdot \frac{\partial h^{(t+1)}}{\partial h^{(t)}}\\ & ={\left[{\mathcal{W}}_{h^{(t)}\Rightarrow {\mathcal{O}}^{(t)}}\right]}^T\cdot {\nabla }_{{\mathcal{Z}}_2^{(t)}}\mathcal{L}+[{\mathcal{W}}_{h^{(t)}\Rightarrow h^{(t+1)}}{]}^T\cdot ({\nabla }_{h^{(t+1)}}\mathcal{L})\cdot \text{Diag}[1-\text{Tanh}({\mathcal{Z}}_1^{(t)}{)}^2]\end{array}$$

总结

• $\text{Softmax}$函数与交叉熵结合，其梯度结果变得非常简洁。即输出分布与真实分布间的差值；
• 递归神经网络中，隐变量$h^{(t)}(t=1,2,\cdots ,\mathcal{T})$在反向传播过程中，既要获取当前时刻输出${\mathcal{O}}^{(t)}$的梯度，也要获取下一时刻隐变量$h^{(t+1)}$的梯度。

推荐一个递归神经网络的反向传播流程，见下方链接，侵删。

相关参考：
关于 RNN 循环神经网络的反向传播求导
《深度学习》(花书) P233-235 10.2.2 计算循环神经网络的梯度