3512. 最短距离总和

题意

给定一张带权无向完全图，设点的编号为 1,2,3,4,5…n（以邻接矩阵的形式给出）。
计算依次拿走第 i个点后，剩余所有点到其他点的最短距离之和的总和（具体请看样例）。
思路

floyd 本身也是dp，状态表示与状态计算如下图
1. 三重状态可压缩至两层
2. 题目是
  - 一开始所有点都在，从小往大拿点i
  - 等价于
  - 一开始所有点都不在，从大往小放进去点i
3. 所以我们就可以用倒着的floyd算法（普通的floyd的k是从1开始遍历，也就是将1开始扩进去），先将n扩进S（S集合代表扩充的中间点），所以d[i][j]就表示i走到j，中间点只经过S集合，的最短距离
4. 由于中间点已经在S集合中，只需保证起点和终点也在S中，整个路径的点就在S中，由于我们是从大往小加的，只要起点和终点大于等于k即可，说明他们俩在S中，所以此时就先进行dp操作，再让答案加上d[i][j]即可
注：
1. 每次if i >= k and j >= k时，都得加上，因为每当最外层的k挑选一个值时，再进行i和j的二重循环，每次k进来时，i和j只有一次碰面机会算最短距离
2. k不能取1，因为如果取1就代表全拿走了，不符合题目要求

代码

'''
Author: NEFU AB-IN
Date: 2023-05-20 20:32:18
FilePath: \Acwing\3512\3512.py
LastEditTime: 2023-05-20 21:50:19
'''
# import
import sys, math
from collections import Counter, deque
from heapq import heapify, heappop, heappush, nlargest, nsmallest
from bisect import bisect_left, bisect_right
from datetime import datetime, timedelta
from string import ascii_lowercase, ascii_uppercase


class sa:
    def __init__(self, x, y):
        self.x = x
        self.y = y

    def __lt__(self, x):
        pass


# Final
N = int(1e3 + 10)
INF = int(2e9)

# Define
sys.setrecursionlimit(INF)
input = lambda: sys.stdin.readline().rstrip("\r\n")  # Remove when Mutiple data
read = lambda: map(int, input().split())
letterTonumber = lambda x: ord(x.upper()) - 64

# —————————————————————Division line ——————————————————————

res = 0
dis = [[0] * N for _ in range(N)]
n, = read()

for i in range(1, n + 1):
    dis[i][1:] = read()

for k in range(n, 1, -1): # 若k=1 代表把k为1的点也算进去了
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j])
            if i >= k and j >= k:
                res += dis[i][j]

print(res)