第 5 章连续函数

5.1 引言

5.2 内积和正交性(Inner products and orthogonality)

5.3 对称性(Symmetry)

5.4 复数值函数

第 5 章连续函数

5.1 引言

在前面的章节中，我们只考虑了在有限区间 L 上定义的离散函数的Fourier级数模型。此类函数在实验科学中很常见，因为研究中的连续变量通常通过在离散区间采样来量化。我们发现，如果为 D 个样本点定义这样的函数，那么具有 D 个Fourier系数的Fourier级数模型将能准确地拟合数据。因此，此类函数的频谱也是离散的，并且它们存在于有限带宽 W = D/2L 上。简而言之，有限区间上的离散函数具有有限带宽的离散频谱，并且 D 个数据点产生 D 个Fourier系数。 这是图 5.1 中的情况 1。

我们在第 4 章中指出，如果我们通过延长观察间隔而不改变采样率来增加样本数，结果是在相同带宽内增加频谱的频率分辨率。我们采样的时间越长，频谱的频率分辨率就越高。进一步推论，我们可以想象，如果观察间隔无限长，那么光谱的分辨率就会增加到无限小的粒度，并且在极限情况下，频谱变成连续函数。因此，无限区间上的离散函数具有带宽有限的连续谱。 这是图 5.1 中的情况 2。

相反，我们注意到，如果我们在固定的有限间隔内增加采样率，那么频谱的带宽就会增加，而不会改变频谱的分辨率。如果采样率无限高，则空间/时间域中的分辨率变得无限小(译注：采样频率越高，周期内采集到的点越少)，并且在极限情况下，函数变得连续。同时带宽无限大地增长。因此，有限区间内的连续函数具有带宽无限大的离散谱。这是图 5.1 中的案例 3。

最后，如果空间/时间函数在无限区间内连续且有定义，则频谱在无限带宽内连续且有定义。这是图 5.1 中的情况 4，这是Fourier变换本身的范畴。学生可能会意识到情况 4 非常通用，只需在空间或频域中丢弃点以根据需要生成离散函数，就可以使其涵盖其他三种情况。正是这种普遍性使得Fourier变换成为许多工程书籍中的主要焦点。另一方面，我们将采取更行人般的学习(pedestrian)方式，坚定地徒步向前迈进，一步一个脚印向前推进。

(仅说明了频谱的幅度部分。在情况 2 和 3 中，连续函数被描述为分辨率接近零时的极限情况。)

---------------------------图 5.1 Fourier分析4种情况的示意图-------------------------------------------

5.2 内积和正交性(Inner products and orthogonality)

计算离散函数Fourier系数的主要工具是内积。这表明值得尝试将内积的概念扩展到包含连续函数。例如，考虑案例 3 中的场景，其中采样率无限制地变大，导致空间/时间域中的分辨率 Δx 无限小。如果我们将样本序列视为一个向量，那么随着离散函数接近连续状态，向量的维度将变得无限大。两个这样的向量的内积是

$\mathbf{u} \bullet \mathbf{v} = \sum_{j=1}^{D}(u_j v_j)$ --------------------------------------------------------[5.1]

随着 D 变得无限大，它可能会无限制地增长。为了保持总和有限，考虑通过乘以 Δx = L/D 来归一化总和。这样，随着 D 变大，Δx 通过变小进行补偿，从而保持内积稳定。这种i洞悉(insight)表明，我们可以通过将内积运算定义为

$u(x)\bullet v(x) = \sum_{j=1}^{D}(u_j v_j)\Delta x \xrightarrow{lim \Delta->0} \int_{a}^{b}u(x)v(x)dx$ ，----------------------[5.2]

从而我们可以将离散函数的内积概念扩展到包含定义在有限区间(a，b)上定义的连续函数。简言之，这个积分等式表明，两个连续函数的内积等于两个函数相乘构成的曲线之下以及x轴以上(在a和b的界线之间)合围区域的面积。类似地，根据等式[5.2]，我们可以通过声明，如果两个连续函数的内积为零，则函数在指定的区间内是正交的，从而将我们的正交性概念扩展到连续函数。

在离散函数的研究中我们发现，采样三角函数 $C_k$ 和 $S_k$ 的谐波集合(或调和集合)是一个用于Fourier级数模型的便利的基，因为它们互为正交性。这明表我们研究(investigate)连续三角函数正交性的可能性。

例如，考虑一个周期长度的区间内的cos(x) 和 sin(x)的内积：

$cos(x)\bullet sin(x) =\int_{-\pi}^{\pi}cos(x)sin(x)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}sin(2x)dx = 0$ -----------------[5.3]

了解为什么积分为零的最简单方法是利用正弦函数的对称性，这会导致函数下的面积在一个完整周期内为零。请注意，由于两个给定函数在一个周期内是正交的，因此它们将在任意整数个周期内正交。

另一个例子，考虑一个周期长度的区间内的cos(x) 和 cos(2x)的内积：

$cos(x)\bullet cos(2x) = \int_{-\pi}^{\pi}cos(x)cos(2x)dx$

$= \int_{-\pi}^{\pi}cos(x)[2cos^{2}(x)-1]dx$

$= \int_{-\pi}^{\pi}cos(x)[2cos^{2}(x)]dx-\int_{-\pi}^{\pi}cos(x)dx$

$= \int_{-\pi}^{\pi}2cos^{3}(x)dx$

$=\frac{1}{4} \int_{-\pi}^{\pi}cos(3x)dx-\frac{1}{4} \int_{-\pi}^{\pi}3cos(x)dx$

$=0$ --------------------------------------------------------------------------------------------------[5.4]

最后一步是基于这样一个事实，即由于这两个积分都具有奇对称性，因此每条曲线下的面积分别为零，因此总面积为零。

基于这些例子的成功结果，我们将在没有证据的情况下断言，连续正弦和余弦的谐波族在任何长度等于基本谐波周期的区间上都是正交的。

根据 D 维空间的Pythagoras定理，向量与自身的内积产生向量的平方长度。在采样三角函数的情况下，平方长度等于维数参数 D。要查看连续函数情况下的相应结果，请考虑 cos(x) 与其自身的内积：

$cos(x)\bullet cos(x) =\int_{-\pi}^{\pi}cos^{2}(x)dx$

$= \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}[1+cos(2x)]dx = 0$

$= \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}1dx+\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}cos(2x)dx$

$= \pi$ -------------------------------------------------------------------------------------------------[5.5]

以类似的方式可以证明，任何谐波 cos(kx) 与其自身在区间 (-π, π ) 内的内积为π 。周期为 L 的余弦函数的类似结论是

$cos(2\pi x/L)\bullet cos(2\pi x/L) = \int_{-L/2}^{L/2}cos^2 (2\pi x/L)dx$

$=\frac{L}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}cos^2 (y)dy$

$=\frac{L}{2}$ ---------------------------------------------------------------------------------------------------[5.6]

其中，简化是通过变量替换 y = 2πx/L 实现的，dy/dx = 2π/L (译注：其实这等于角频率，即周期时间内转过的角度为 2π ，即 ω = 2π/L , 而在 x 时刻转过的角度就为 ωx = 2πx/L )。

因此，特别地，有

$cos(2\pi jx/L)\bullet cos(2\pi kx/L) = 0$ (假如 j ≠ k )

------------------------------------------------------------------------ $= \frac{L}{2}$ (假如 j = k )

$sin(2\pi jx/L)\bullet sin(2\pi kx/L) = 0$ (假如 j ≠ k )

------------------------------------------------------------------------ $=\frac{L}{2}$ (假如 j = k )

$cos(2\pi jx/L)\bullet sin(2\pi kx/L) = 0$ (所有 j ，k ) -----------------------[5.7]

连续函数与自身的内积在许多物理情景下都有重要的解释。例如，欧姆(Ohm)电路定律指出，电阻消耗的功率等于电压的平方除以电阻。如果 $v^{2}(t)$ 描述了 1 欧姆电阻两端电压的时程，则功耗的时程为 $v^{2}(t)$ ，从 0 到 T 秒的时间间隔内消耗的能量总量为

$energy = \int_{0}^{T}v^2 (t)dt = v(t) \bullet v(t)$ --------------------------------------[5.8]

间隔内的平均功耗通过将消耗的总能量除以间隔长度得出

$\frac{energy}{T}=mean\hspace{0.2cm}power = \int_{0}^{T}v^2 (t)dt$ -----------------------------------[5.9]

例如，一个 1 欧姆的电阻器对一个电压波形v(t) = Acos(x) 的平均功耗等于 $A^{2}/2$ 。

类似地，如果 v(t) 是具有单位质量的物体的瞬时速度，则等式[5.8]中的积分等于物体储存的动能总量。通过类比，即使在与类似物理背景完全不同的情况下，函数与自身的内积也经常被描述为等于函数中的能量数。

5.3 对称性(Symmetry)

计算离散函数的Fourier系数涉及到数据向量与采样三角函数的内积，所以当我们发现计算连续函数的Fourier系数时也出现内积时，学生应该不会太惊讶。由于连续函数的内积需要计算积分，因此减轻这种负担的任何捷径都是最有用的。一种这样的捷径是基于对称性的，因此我们在这里对对称函数的一些通用方面做一个简短的题外介绍。

对于单变量的普通实数值函数，可能存在两种类型的对称性。如果 𝗒(𝗑) = 𝗒(-𝗑) 则函数 𝗒(𝗑) 呈偶对称性，而如果 𝗒(𝗑) = - 𝗒(-𝗑) 则函数 𝗒(𝗑) 呈奇对称性。学生可能会惊讶地发现任何特定的 𝗒(𝗑) 总是可以表示为某个偶函数和奇函数的和。为了证明这一事实，设 E(𝗑) 为偶函数，O(𝗑) 为奇函数，由方程定义为

$E(x) = \frac{1}{2} [\mathsf{y}(\mathsf{x}) + \mathsf{y}(-\mathsf{x})]$

$O(x) = \frac{1}{2} [\mathsf{y}(\mathsf{x}) - \mathsf{y}(-\mathsf{x})]$ --------------------------------------------------------[5.10]

-----------------图 5.2将非对称函数 𝗒(𝗑) 表示为偶函数和奇函数之和的示例。函数 𝗒(-𝗑) 可以通过用 -q 代替 𝗑 并绘制 𝗒(-q) 来构建。对于q的每个值，求解 𝗑 = -q，得到 𝗒(𝗑) 和 𝗒(q)。---------------------------------------------------------

为了验证 E(𝗑) 是偶数，我们将变量 𝗑 替换为 - 𝗑 并观察到这种替换没有效果。换句话说，E(𝗑) = E(-𝗑)。为了验证 O(𝗑) 是奇数，我们将变量 𝗑 替换为 - 𝗑 并观察到这种替换引入了符号的变化。换句话说，O(𝗑)= O(-𝗑)。最后，我们结合这对方程并观察到 E(𝗑) + O(𝗑) = 𝗒(𝗑)。

上述结果的意义在于，通常可以通过将 𝗒(𝗑) 表示为偶函数和奇函数之和，然后使用对称参数来计算结果以简化涉及𝗒(𝗑)的积分。所指的对称参数如下：

$\int_{-a}^{a}E(x)dx=2\int_{0}^{a}E(x)dx$

$\int_{-a}^{a}O(x)dx=0$ ------------------------------------------------------------------------[5.11]

5.4 复数值函数

当考虑单变量的复数值函数(例如，𝗒(𝗑) = 2 𝗑 + i(5𝗑))时，就出现了第3种对称性。假如某个函数 𝗒(𝗑) 是复数值函数，则它可以为一个纯粹的实函数 $\mathsf{y}_{R}(\mathsf{x})$ 和一个纯粹的虚函数 $\mathsf{y}_{I}(\mathsf{x})$ 之和，假如这个函数 𝗒(𝗑) 具有偶对称性，则

$\mathsf{y}(\mathsf{x}) = \mathsf{y}(-\mathsf{x})$

$\mathsf{y}_R (\mathsf{x}) + i[\mathsf{y}_I (\mathsf{x})] = \mathsf{y}_R (-x) + i[\mathsf{y}_I (-\mathsf{x})]$ --------------------------[5.12]

分别使这个方程的实部和虚部相等，我们看到

$\mathsf{y}_R (\mathsf{x}) = \mathsf{y}_R (-\mathsf{x})$

$\mathsf{y}_I (\mathsf{x}) =\mathsf{y}_I (-\mathsf{x})$ ----------------------------------------------------------------------------------[5.13]

换句话说，如果 𝗒(𝗑) 是偶函数，则 𝗒(𝗑) 的实部和虚部都是偶函数。类似的练习将向学生证明，如果 𝗒(𝗑) 是奇函数，则 𝗒(𝗑) 的实部和虚部都是奇函数。

前面提到的另一种对称是 𝗒(𝗑) 的实部为偶函数但 𝗒(𝗑) 的虚部为奇函数。在这种情况下，

$\mathsf{y}_R (\mathsf{x}) = \mathsf{y}_R (-\mathsf{x})$

$\mathsf{y}_I (\mathsf{x}) =-\mathsf{y}_I (-\mathsf{x})$

$\mathsf{y}_R (\mathsf{x}) + i[\mathsf{y}_I (\mathsf{x})] = \mathsf{y}_R (-x) - i[\mathsf{y}_I (-\mathsf{x})]$

$\mathsf{y}(\mathsf{x}) =\mathsf{y}^{*} (-\mathsf{x})$ -----------------------------------------------------------------------------------[5.14]

推广早期为复数开发的复数共轭(conjugate)概念，我们可以说函数 𝗒(𝗑) 具有共轭对称性或Hermite对称性。

共轭对称性在连续函数的Fourier分析中起着重要作用。例如， $e^{ix}=cos(x)+isin(x)$ 形式的基函数是 Hermite函数。此外，在第 4 章中观察到实数值数据向量的复数Fourier系数具有共轭对称性： $c_k=c^{*}_{-k}$ 。当频谱变得连续时，如图 5.1 中的情况 2 和 4，则频谱是一个复数值函数。在下一章中，我们将证明这样的频谱具有共轭对称性。 Bracewell 的教科书 <<The Fourier Transform and Its Applications>>( Fourier变换及其应用)(第14页) 中列出的一些对称关系在第 12 章的表 12.2 中给出。