写在前面

我上次发了一篇题解：C++排列与组合算法详解
最开始，我是抱着水题解的想法写的，但却成为了阅读量 最高 的文章，没有之一。

所以今天咱们来重制一篇文章，介绍几个进阶优化版的算法。

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算法1：朴素算法

思路

具体见 C++排列与组合算法详解

缺点

不能将结果取模，因为朴素的组合公式在取模意义下没用。

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算法2：递推预处理

思路

我们发现：
$$\begin{gathered} C_a^0=1 \\ {C}_a^b=C_{a-1}^b+C_{a-1}^{b-1}(a,b>0) \end{gathered}$$

所以我们可以写一个递推函数（部分非主要内容已省略）：

void init_C()
{
    for (int i = 0; i < N; i ++ ) // N 表示预处理最大的下标
        for (int j = 0; j <= i; j ++ )
            if (!j) c[i][j] = 1;
            else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % P;
}

再预处理阶乘：

void f(int n)
{
    f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        f[i] = (LL)f[i - 1] * i % P;
}

需要排列的话还可以预处理排列：

void init_A(int n)
{
    for (int i = 0; i <= n; i ++ )
        for (int j = 0; j <= i; j ++ )
            a[i][j] = (LL)f[i - j] * c[i][j] % P;
}

时间复杂度：$O(n^2)$

可以处理 $5000$ 以内规模的数据

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算法3：阶乘逆元

思路

根据费马小定理可得，当 $p$ 为质数时，$$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$$
$$\therefore a^{p-2}\equiv \frac{1}{a}(\mathrm{mod}p)$$
这就是乘法逆元，通常使用在需要除法取模的情况。

这里再次提一下排列、组合公式： $$C_a^b=\frac{a!}{b!(a-b)!},A_a^b=\frac{a!}{b!}$$

求逆元需要用到快速幂：

LL qpow(LL a, LL b, LL p)
{
	LL res = 1;
	while (b)
	{
		if (b & 1) res = res * a % p;
		b >>= 1;
		a = a * a % p;
	}
    return res;
}

然后预处理阶乘和阶乘逆元：

f[0] = uf[0] = 1;
for (int i = 1; i < N; i ++ )
{
	f[i] = (LL)f[i - 1] * i % mod;
	uf[i] = (LL)uf[i - 1] * qpow(i, mod - 2, mod) % mod;
}

同样的，如果输出排列、组合结果的话需要利用公式。

时间复杂度：$O(n\log n)$

可以处理 $10^5$ 以内规模的数据

思考：读者也可以尝试写 $O(n)$ 预处理阶乘逆元。

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算法4：Lucas 定理

思路

由 Lucas 定理可得：当 $p$ 为质数时，

$$C_a^b=C_{\frac{a}{p}}^{\frac{b}{p}}\times C_{a\mathrm{mod}p}^{b\mathrm{mod}p}$$

因此，我们可以写一个递归函数 LL lucas(int a, int b),递归出口是 $a_k<p,b_k<p$ 。

递归的过程相当于自上向下将 $C_{a_1}^{b_1},C_{a_2}^{b_2},\dots ,C_{a_k}^{b_k}$ 添加到乘式里。

LL lucas(LL a, LL b)
{
	if (a < p && b < p) return C(a, b);
	return (LL)C(a % p, b % p) * lucas(a / p, b / p) % p;
}

这里面的 C(a, b) 是指 算法3 ，即用阶乘和阶乘逆元求组合数。

LL qpow(LL a, LL b, LL p)
{
	int res = 1;
	while (b)
	{
		if (b & 1) res = res * a % p;
		b >>= 1;
		a = a * a % p;
	}
	return res;
}

LL C(LL a, LL b)
{
	LL res = 1;
	for (int i = 1, j = a; i <= b; i ++ , j -- )
	{
		res = (LL)res * j % p;
		res = (LL) res * qpow(i, p - 2, p) % p;
	}
	return res;
}

同样的，如果输出排列、组合结果的话需要利用公式。

时间复杂度：$O(p\times {\log }_{p}n)$

可以处理 $a,b\le 10^{18},p\le 10^5$ 以内规模的数据

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