题目要求

在古老的迈瑞城，巍然屹立着 n 块神石。长老们商议，选取 3 块神石围成一个神坛。因为神坛的能量强度与它的面积成反比，因此神坛的面积越小越好。特殊地，如果有两块神石坐标相同，或者三块神石共线，神坛的面积为 0.000。

长老们发现这个问题没有那么简单，于是委托你编程解决这个难题。

输入格式：
输入在第一行给出一个正整数 n（3 ≤ n ≤ 5000）。随后 n 行，每行有两个整数，分别表示神石的横坐标、纵坐标（−109≤ 横坐标、纵坐标 <109）。

输出格式：
在一行中输出神坛的最小面积，四舍五入保留 3 位小数。

输入样例：
8
3 4
2 4
1 1
4 1
0 3
3 0
1 3
4 2

输出样例：
0.500

样例解释：
输出的数值等于图中红色或紫色框线的三角形的面积。

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解题前提及思路

该程序可归类为计算平面内点集的最小面积的凸包

凹包算法

概念

定义：对于平面内的一组点，凸包是指这组点的凸多边形中，所有的顶点都是这组点中的点的集合。

凸包（Convex Hull）算法是一种计算二维平面点集最小凸多边形的算法。而凸多边形具有如下特征：在其内部的任意两点，连线都必须位于多边形内部。

因此，凹包（Concave Hull）问题就是将给定的点集包围在一个凹多边形中的算法。凹包问题的难点在于如何确定多边形的形状和顶点，目前已经存在一些解决方案，包括基于 alpha 型和 beta 型形态学的方法、基于分割重组的方法、基于斯蒂尔-沃森（Stiel-Watson）统计的方法等等。

步骤

先求出每个点的单位向量，根据单位向量在极坐标系下的极角从小到大排序，然后按照排序后的顺序依次加入点，如果当前点不是凸包上的点，则一直弹掉栈顶元素直到满足要求，最后栈内存储的就是凸包上所有的点了。

解题思路

1. 用结构体存储平面内的点的坐标及其单位向量，以及该点的编号。

2. 求出每个点的单位向量，并根据该向量的极角从小到大排序。

3. 遍历排序后的点集，依次判断每个点是否在凸包上。如果是，将其入栈；否则，弹出栈顶元素直到满足凸包条件。

4. 最后栈内存储的即为凸包上所有的点的编号。

5. 根据这些点的坐标计算凸包的面积，具体方法是用两个相邻点和原点组成的三角形面积求和。

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代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath> 

using namespace std;

struct node {
    long long x, y; // 存储平面内的点的坐标
    int xiang; // 存储所在象限
};

int n;

bool cmp(node x,node y)
{
    // 判断两个点所在象限是否相同
    if(x.xiang != y.xiang)
        return x.xiang < y.xiang;
    // 如果所在象限相同，则判断它们组成的向量与 x 轴之间的夹角大小来排序，
    // 如果向量之间的叉积为正数，表明顺时针旋转需要交换两个向量的位置，这时
    // 我们认为前一个向量更小；如果叉积为负数，表明逆时针旋转不需要交换，这时
    // 认为后一个向量更小。
    return x.x * y.y - x.y * y.x < 0; 
}

// 判断点所在象限的函数
int judge(node x)
{
    if(x.x > 0 && x.y > 0) return 1;
    if(x.x < 0 && x.y > 0) return 2;
    if(x.x < 0 && x.y < 0) return 3;
    if(x.x > 0 && x.y < 0) return 4;
 }

int main()
{
    cin >> n;
    
    struct node a[5010], b[5010];
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i].x >> a[i].y;
    }
    
    double s = -1;
    int cnt;

    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cnt = 1;
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(i == j) continue;
            b[cnt].x = a[j].x - a[i].x;
            b[cnt].y = a[j].y - a[i].y;
            b[cnt].xiang = judge(b[cnt]);
            cnt++;
        } 

        sort(b + 1, b + n, cmp); // 排序

        for(int j = 1; j < n - 1; j++)
        {
            // 计算三角形面积，求最小值
            if(s == -1 || fabs(b[j + 1].x * b[j].y - b[j + 1].y * b[j].x) * 0.5 < s)
                s = fabs(b[j + 1].x * b[j].y - b[j + 1].y * b[j].x) * 0.5;
        }
    }

    printf("%.3f\n", s);
    return 0;
} 

 } 

需要注意的是，在计算向量的极角时，可以用 atan2(y, x) 函数，而不是简单地使用 arctan(y/x)，这是因为 atan2 函数会根据 y 和 x 的符号自动确定向量在哪个象限，避免了分段计算的麻烦。

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tan(y/x)及tan2(y,x)函数

tan(y, x) 函数表示求以 (x, y) 为起点的射线与 x 轴正方向之间的夹角的正切值。在求解过程中，需要使用参数 y 和 x 分别代表这条射线在 y 方向和 x 方向上的长度。因此，tan 函数的返回值是一个实数类型。

而 atan2(y, x) 函数则是求以原点为起点的射线与 x 轴之间的夹角，其输入参数也是射线在 y 和 x 方向上的长度。需要注意的是，atan2(y, x) 函数返回值的单位是弧度制，通常需要进行转换后才能得到以角度为单位的值。

atan2(y, x) 函数在计算以原点为起点的向量与 x 轴正方向所夹角度数时，会根据向量在平面上的位置自动确定向量所在的象限。

具体来说，如果向量位于第一象限，即其x和y坐标均为正数，
那么atan2(y, x)计算出的角度值将是 0 到 π/2 之间的一个正值。

如果向量位于第二象限，即其x坐标为负数，而y坐标为正数，
那么atan2(y, x)计算出的角度值将是 π/2 到 π 之间的一个正值。

另外，由于 tan(y, x) 中需要除以 x 的值，所以当 x 的值为 0 时会导致除数为 0 的错误。而 atan2(y, x) 可以避免这种错误的发生，因此更加常用。

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总结

本文使用凹包算法、atan2(y,x)函数进行解题，读者可躬身实践。
我是秋说，我们下次见。