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70. 爬楼梯 （进阶）

教程视频：这里利用背包问题的思想拓展成每次可以爬1～m个台阶

思路：
1、dp[j]定义：到第 j 层的方法数
2、递推公式：dp[j]+=dp[j-m[i]];此时物品的重量和价值都为每次爬的台阶数
3、dp初始化：dp[0]=1;其余下标均初始化为0
4、遍历顺序：根据示例2，这是完全背包求排列问题，外层for循环正向遍历背包容量，内层遍历物品
5、打印结果

解法一：动态规划

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        int[] m={1,2};//模拟每次能爬1～2曾台阶，表示背包问题的物品
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0]=1;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            for(int i=0;i<m.length;i++){
                if(j>=m[i])dp[j]+=dp[j-m[i]];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

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322. 零钱兑换

教程视频：https://www.bilibili.com/video/BV14K411R7yv

思路：这是一个完全背包问题，其中amount为背包容量，硬币价值为物品重量，求的是最少硬币数量。
1、dp[j]定义：背包容量为 j 时使用的最少硬币数量。
2、递推公式：dp[j]=Math.min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1);
3、dp初始化：dp[0]=0; 因为求的是最小值，其他下标要初始化为最大整数
4、遍历顺序：求的是完全背包的结果长度，组合和排列都可以，这里采用组合的求法。外层for遍历物品，内层for正序遍历背包容量
5、打印结果

解法一：动态规划

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int[] dp = new int[amount+1];

        //初始化dp数组
        dp[0]=0;  //当金额为0时需要的硬币数目为0
        for(int i=1;i<=amount;i++){
            dp[i]=Integer.MAX_VALUE;
        }

        for(int i=0;i<coins.length;i++){
            for(int j=coins[i];j<=amount;j++){//正序遍历：完全背包每个硬币可以选择多次
                if(dp[j-coins[i]]!=Integer.MAX_VALUE){//这里需要判断是否为最大值，否则最大值+1会溢出为-2147483648	
                    dp[j]=Math.min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1);
                }
            }
        }
        return dp[amount]==Integer.MAX_VALUE? -1 : dp[amount];
    }
}

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279.完全平方数

教程视频：https://www.bilibili.com/video/BV12P411T7Br

思路：这是一个完全背包问题，其中 n 为背包容量，完全平方数为物品重量，求的是最少完全平方数的数量。总体与上一题322. 零钱兑换一样，这里的难点在于物品数量随背包容量变化，即物品m满足m*m<=n
1、dp[j]定义：背包容量为 j 时使用的最少完全平方数的数量。
2、递推公式：dp[j]=Math.min(dp[j],dp[j-m[i]]+1);
3、dp初始化：dp[0]=0; 因为求的是最小值，其他下标要初始化为最大整数
4、遍历顺序：求的是完全背包的结果长度，组合和排列都可以，这里采用组合的求法。外层for遍历物品，内层for正序遍历背包容量
5、打印结果

解法一：动态规划

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        //初始化dp
        for(int i=1;i<=n;i++)dp[i]=Integer.MAX_VALUE;

        for(int i=1; i*i<=n;i++){
            for(int j=i*i;j<=n;j++){
                if(dp[j-i*i]!=Integer.MAX_VALUE){
                    dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j-i*i]+1);
                }
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

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