70. 爬楼梯 的改进版
改进条件
改为：一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，…，直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
文档讲解：代码随想录 (programmercarl.com)
状态：能做出来。
思路
1阶，2阶，… m阶就是物品，楼顶就是背包。每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。
问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。此时大家应该发现这就是一个完全背包问题了！
动规五部曲
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确定dp数组以及下标的含义
dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。
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确定递推公式
求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - j];
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dp数组如何初始化
dp[0] 一定为1
下标非0的dp[i]初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0这样才不会影响结果
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确定遍历顺序
这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！
所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。
每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。
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举例来推导dp数组
代码
vector<int> dp(n + 1, 0);
dp[0] = 1;
for(int j = 1; j <= n; j++){ // 遍历背包
for(int i = 1; i <= m; i++){ // 遍历物品
if(j >= i) dp[j] += dp[j - i];
}
}
322. 零钱兑换
文档讲解：代码随想录 (programmercarl.com)
视频讲解：动态规划之完全背包，装满背包最少的物品件数是多少？| LeetCode：322.零钱兑换_哔哩哔哩_bilibili
状态：不会做。
思路
题目中说每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题。
动规五部曲
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确定dp数组以及下标的含义
dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]
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确定递推公式
凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）
所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。
递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
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dp数组如何初始化
首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;
其他下标对应的数值呢？
考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。
所以下标非0的元素都是应该是最大值。
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确定遍历顺序
本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。所以本题并不强调集合是组合还是排列。
所以先遍历物品还是背包都可以。
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举例推导dp数组
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 5为例，dp[amount]为最终结果。
代码
class Solution {
public:
int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for(int i = 0; i < coins.size(); i++){ // 遍历物品
for(int j = coins[i]; j <= amount; j++){ // 遍历背包
if(dp[j - coins[i]] != INT_MAX){ // 不加的话，下面那个加1会越界
dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
}
}
}
if(dp[amount] == INT_MAX) return -1;
return dp[amount];
}
};
279.完全平方数
文档讲解：代码随想录 (programmercarl.com)
视频讲解：动态规划之完全背包，换汤不换药！| LeetCode：279.完全平方数_哔哩哔哩_bilibili
状态：没完全做出来。
思路
我来把题目翻译一下：完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少物品？
动规五部曲
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确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]
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确定递推公式
dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。
此时我们要选择最小的dp[j]，所以递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
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dp数组如何初始化
dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量，那么dp[0]一定是0。
从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的，所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。
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确定遍历顺序
两个for循环的顺序随便来。
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举例推导dp数组
已输入n为5例，dp状态图如下：
dp[0] = 0 dp[1] = min(dp[0] + 1) = 1 dp[2] = min(dp[1] + 1) = 2 dp[3] = min(dp[2] + 1) = 3 dp[4] = min(dp[3] + 1, dp[0] + 1) = 1 dp[5] = min(dp[4] + 1, dp[1] + 1) = 2
最后的dp[n]为最终结果。
代码
class Solution {
public:
int numSquares(int n) {
vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
//递推公式 dp[j] = min(dp[j], dp[j- i*i] + 1);
for(int i = 1; i * i <= n; i++){ // 物品
for(int j = i * i; j <= n; j++){ // 背包
dp[j] = min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
}
}
return dp[n];
}
};
