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在机器学习领域，分类的目标是指将具有相似特征的对象聚集。而一个线性分类器则透过特征的线性组合来做出分类决定，以达到此种目的。对象的特征通常被描述为特征值，而在向量中则描述为特征向量。

1. 理论知识
   1.1 从线性回归到线性多分类
   回归是基于给定的特征，对感兴趣的变量进行值的预测的过程。在数学上，回归的目的是建立从输入数值到监督数值的函数： $$\hat{y}=f(x_1,...,x_m)$$ 线性回归限制函数为线性形式，即为： $$f(x_1,...x_m)=w_0+w_1{x}_1+...+w_m{x}_m=\mathbf{xw}$$ 其中， $$\mathbf{x}=[1,x_1,x_2,...,x_m]\mathbf{w}=[w_0,w_1,w_2,...,w_m{]}^T$$ 也就是找一组参数${w_k}_{k=1}^m$，使得在训练集上，函数与预测值尽可能接近。

对于本次的分类问题来说，线性回归的输出值与分类任务中的目标值不兼容。线性回归的结果范围为全体实数，而对于本次实验的多分类问题，变量结果即属于的类别，换言之，我们期望的结果标签的种类数量和训练样本的总类别数量一致。因此考虑使用softmax函数来将回归结果映射到种类上，从而表示分类结果。对于K分类问题，有： $$softma{x}_i(\mathbf{z})=\frac{e^{z_i}}{{\sum }_{k=1}^K{e}^{z_k}}{f}_i(\mathbf{x})=softma{x}_i(\mathbf{xW})=\frac{e^{\mathbf{x}{\mathbf{w}}_{\mathbf{i}}}}{{\sum }_{k=1}^K{e}^{\mathbf{x}{\mathbf{w}}_{\mathbf{k}}}}$$ 其中，$\mathbf{W}$为： $$\mathbf{W}\triangleq \left[\begin{array}{c}{\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2...,{\mathbf{w}}_K\end{array}\right]$$ 易见，所有类的softmax函数值之和为1。每一类的函数值就为它的概率。

1.2 损失函数表示与优化
经过上面的讨论与操作，对于多分类问题，预测结果是在每一类上的概率，即维度数等于类数的向量。与之对应的实际结果可以用独热向量表示，即是本类的那一维度为1，其他维度为0的向量。为了使得预测结果与实际结果尽量接近，我们考虑用损失函数用于衡量预测结果和实际结果的差距。在数学上，该分类问题等价于找到合适的向量$\mathbf{w}$，使得损失函数最小化。依据本次实验的要求，损失函数需要分别考虑交叉熵损失和均方误差损失，即损失函数分别为： $$L_1({\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2,...,{\mathbf{w}}_K)=-\frac{1}{N}\sum _{l=1}^N\sum _{k=1}^K{y}_k^{(l)}\log softma{x}_k({\mathbf{x}}^{(l)}\mathbf{W})L_2({\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2,...,{\mathbf{w}}_K)=\frac{1}{N}\sum _{l=1}^N\sum _{k=1}^K(softma{x}_k({\mathbf{x}}^{(l)}\mathbf{W})-y_k^{(l)}{)}^2$$ 其中，$y_k^{(l)}$是第$k$个$y^{(l)}$的元素。

考虑使用梯度下降法使得损失函数最小化。两个损失函数的梯度分别为： KaTeX parse error: Undefined control sequence: \part at position 8: \frac{\̲p̲a̲r̲t̲ ̲L(\bold W)}{\pa…

梯度下降法的参数更新方式为： KaTeX parse error: Undefined control sequence: \part at position 45: …}-r\left.\frac{\̲p̲a̲r̲t̲ ̲L(\bold W)}{\pa…

其中$r$为学习率。对于凹函数，通过适当的学习率，对模型参数进行迭代更新，最终可以收敛到最小值点。