一、基本思路

1、基本思想与概念

解决问题：
- 多个城市中铺公路，使城市之间可以相互联通，问如何才能让铺设公路的长度最短——铺设的路径即为最小生成树。
思想：
- 从小到大枚举每条边，从小到大试图将每条边假如生成树，只要这条边对应的两个点不在一个集合，则把这条边加到集合中来。
主要面对的是稀疏图的最小生成树问题
使用并查集来进行同一集合的判断。

在这里插入图片描述

2、算法步骤

1. 将所有边按照权重进行从小到大排序（快排）—— O（mlogn）算法瓶颈
1. 枚举每一条边 a，b，权重 c
- if（a, b不连通）{
- 将这条边加入集合中，相当于给 a, b 之间加一条边
- }

3、注意

Kruskal 算法是以边为单位进行遍历，Prim算法是以点为单位进行边的遍历
使用并查集进行“是否在同一个集合”的判断
不需要使用邻接表、邻接矩阵存储图，只需要存边，然后做好排序即可。

二、Java、C语言模板实现

//Java 模板实现
    static int N = 100010;
    static int n,m;
    static int u,v,w;
    
    // 使用并查集判断每个节点的归属集合
    // p代表点 1 ~ n 的父节点是什么
    static int[] p = new int[N];
    
    // 查询节点 x 的根节点（只有根节点才可以满足p[x] = x）
    // 根节点的p[x]代表的就是集合本身编号
    static int findRoot(int x){
        if(p[x] != x){
            p[x] = findRoot(p[x]);      // 并查集中的递归与路径压缩
        }
        return p[x];
    }


        int res = 0;            // 存储最小生成树经过的路程，也就是走过一遍的最小路程数
        int count = 0;          // 记录集合中的边数，之所以增加这个变量，是因为并不能
        
        for(int i = 0; i < n; i++){     // 此处是初始化每个点为一个集合，为了后面合并做准备
            p[i] = i;                   // 满足根节点 p[x] = x 条件
        }
        
        for(int i = 0; i < m; i++){
            u = in.nextInt();
            v = in.nextInt();
            w = in.nextInt();
            
            edges.add(new Edge(u, v, w));       // 将边加入队列中，并做好排序
        }
        
        for(int i = 0; i < m; i++){
            Edge temp = edges.poll();           // 取出首节点，也就是最小的边
            int a = temp.a;
            int b = temp.b;
            int ww = temp.w;
            a = findRoot(a);                    // 找到点a的根节点
            b = findRoot(b);                    // 找到点b的根节点/所在集合
            
            if(a != b){     // 两者没有连通，也就是没有边通路
               p[a] = b;    // 将其中一个集合并入另一个集合
               res += ww;   // 累加两点之间的距离
               count++;     // 判断走过了多少条边
            }
            
        }

class Edge implements Comparable<Edge>{
    
    int a;
    int b;
    int w;
    public Edge(int x,int y, int z){
        this.a = x;
        this.b = y;
        this.w = z;
    }
    
    public int compareTo(Edge other){           // 此处是为了在优先队列中实现排序，也就实现了Comparable接口
        return Integer.compare(this.w, other.w);
    }
}

```cpp
// C++语言实现，此处是yxc实现
int n, m;       // n是点数，m是边数
int p[N];       // 并查集的父节点数组

struct Edge     // 存储边
{
    int a, b, w;

    bool operator< (const Edge &W)const
    {
        return w < W.w;
    }
}edges[M];

int find(int x)     // 并查集核心操作
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int kruskal()
{
    sort(edges, edges + m);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;    // 初始化并查集

    int res = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;

        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b)     // 如果两个连通块不连通，则将这两个连通块合并
        {
            p[a] = b;
            res += w;
            cnt ++ ;
        }
    }

    if (cnt < n - 1) return INF;
    return res;
}

三、例题题解

在这里插入图片描述

// java题解实现
import java.util.*;

public class Main{
    static int N = 100010;
    static int n,m;
    static int u,v,w;
    
    // 使用并查集判断每个节点的归属集合
    // p代表点 1 ~ n 的父节点是什么
    static int[] p = new int[N];
    
    // 查询节点 x 的根节点（只有根节点才可以满足p[x] = x）
    // 根节点的p[x]代表的就是集合本身编号
    static int findRoot(int x){
        if(p[x] != x){
            p[x] = findRoot(p[x]);      // 并查集中的递归与路径压缩
        }
        return p[x];
    }
    
    public static void main(String[] args){
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        
        // 使用优先队列进行边的存储，在添加过程中实现边添加边排序
        // 当然此处实际上也可以使用 Edge 数组进行存储
        PriorityQueue<Edge> edges = new PriorityQueue<Edge>();
    
        n = in.nextInt();
        m = in.nextInt();
        
        int res = 0;            // 存储最小生成树经过的路程，也就是走过一遍的最小路程数
        int count = 0;          // 记录集合中的边数，之所以增加这个变量，是因为并不能
        
        for(int i = 0; i < n; i++){     // 此处是初始化每个点为一个集合，为了后面合并做准备
            p[i] = i;                   // 满足根节点 p[x] = x 条件
        }
        
        for(int i = 0; i < m; i++){
            u = in.nextInt();
            v = in.nextInt();
            w = in.nextInt();
            
            edges.add(new Edge(u, v, w));       // 将边加入队列中，并做好排序
        }
        
        for(int i = 0; i < m; i++){
            Edge temp = edges.poll();           // 取出首节点，也就是最小的边
            int a = temp.a;
            int b = temp.b;
            int ww = temp.w;
            a = findRoot(a);                    // 找到点a的根节点
            b = findRoot(b);                    // 找到点b的根节点/所在集合
            
            if(a != b){     // 两者没有连通，也就是没有边通路
               p[a] = b;    // 将其中一个集合并入另一个集合
               res += ww;   // 累加两点之间的距离
               count++;     // 判断走过了多少条边
            }
            
        }
        
        if(count != (n - 1)){   // 没有走过 n-1 条边，也就意味着没有全部连接的通路，也就没有最小生成树
            System.out.println("impossible");
        }else{
            System.out.println(res);
        }
    }
    
    
}

class Edge implements Comparable<Edge>{
    
    int a;
    int b;
    int w;
    public Edge(int x,int y, int z){
        this.a = x;
        this.b = y;
        this.w = z;
    }
    
    public int compareTo(Edge other){           // 此处是为了在优先队列中实现排序，也就实现了Comparable接口
        return Integer.compare(this.w, other.w);
    }
}