3.1.1 引子（顺序查找）

什么是树

在客观世界上许多事物存在层次关系。如人类社会的家谱、社会组织管理结构、省市县乡镇的分级，计算机中为了还原这种结构，使用了树这种数据结构。

那么为什么要使用这种层次结构？因为分层组织在数据管理方面有更高的效率

下面以数据管理的基本操作之一：查找为例来分析，如何实现有效的查找？

查找

实质：根据某个给定的关键词K，从集合R中找出与关键词K相同的数据

1. 静态查找

定义：集合中的数据是固定的。没有插入和删除，对数据集的操作只有查找。——比如一本出版字典
实现：一般使用数组存放数据
方法：顺序查找

2. 动态查找

定义：集合中数据是动态变化的。对数据集的操作有查找、插入和删除。——比如一个论文数据库

顺序查找详解：（实际上就是遍历）时间复杂度：O(n)

typedef struct LNode *List;
struct LNode{
    ElementType Element[MaxSize];
    int length;
};

int SequentialSearch(List Tbl,ElementType K)
{//遍历ElementType查找关键字为K的数据元素
    int i;
    Tbl->Element[0] = K;//建立哨兵，预先设立边界值而不需要每次都判断
    for(i = Tbl->Length; Tbl->Element[i] != K; i--);
    //查找成功返回下标，不成功返回0
    return i;
}

//不用哨兵的
int SequentialSearch(List Tbl,ElementType K)
{
    int i;
    //两个退循环条件，i控制边界，tbl检测是否相等
    for(i = Tbl->Length; i>0 && Tbl->Element[i] != K; i--);
    return i;
}

3.1.2 引子二分查找例子(BinarySearch)

假设两个地点AB之间的高压电站有100w个，从A向B输电，某一天两个地方都突然停电了，现在需要排查是哪里的电站出问题。如果一个一个排查过去，平均需要50w次才能排查结束。如果先从最中央的一个电站开始排查，再向断电的那一半的中间...每次折半查找，那么只需要log2（1000000）=20次就可以排查完毕。

二分查找

前提：数据元素的关键字需要是有序且连续存放
退出条件：1.初始时right>left,结束时left>right，二者错位，说明查找失败2.查找成功，返回

3.1.3 引子二分查找实现

二分查找代码

//函数参数表为存放着数据的列表Tbl和要找的元素K
int BinarySearch(List Tbl, ElementType K)
{
    //定义左中右标识变量，赋初值,-1为方便返回NoFound
    int left,right,mid,NoFound = -1;

    //初始左右边界，先让左边界为最左侧元素，右边界为表尾
    left = 1;
    right = Tbl->length;

    while(left <= right)
    {
        mid = (left + right)/2;
        //若中值大于要找的元素K
        if(K < Tbl->Element[mid]){
           right = mid - 1;//说明应该往左半侧找，把右边界更新为此时的中值-1即可
        }else if(K > Tbl->Element[mid]){
            left = mid + 1;
        }else{
            return mid;
        }
    }
    //如果找到了会提前退出循环，没找到会返回NoFound即-1
    return NoFound;
}

这个算法的时间复杂度是对数级的O(logN)

二分查找的启示

由二分查找判断元素的顺序可以绘制出如下判定树

从图中可以发现：

每个结点需要查找的次数刚好等于这个结点所在的层数
查找次数的上限是这个判定树的深度
如果有n个结点，那么判定树的深度为[log2(N)]+1
平均查找次数ASL = (每层个数*层数之和)/总结点数。此树ASL = (1+2*2+4*3+4*4)/11=3

那么如果直接将数据存储成树这样的形式，会不会对数据的查找更有裨益呢？当然会。之后我们就将讲到查找树这种存储形式。

3.1.4 树的定义

树(Tree)：n(n>=0)个结点构成的有限集合

空树：n=0，即没有结点。其对应的是非空树。

对于任意一颗非空树，它具备以下性质：

树中有一个称为根（Root）的特殊结点，用r表示

其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、...、Tm，其中每个集合本身也是一棵树，称为原来树的子树(SubTree)