如果BST树插入的顺序是有序的，那么BST树就会退化成一个双链表结构，查询的速率就会很慢，

所以有了AVL树的意义。

AVL树的定义：

是具有下列性质的二叉搜索树

        1、它的左子树和右子树都是AVL树

        2、左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过1

结点的平衡因子：每一个结点都有一个平衡因子，代表着右子树（左子树）高度减去左子树（右子树）高度的高度差，AVL树任一结点的平衡因子只能取-1，0，1。

AVL树的插入：

向一棵本来是平衡的AVL树插入时，出现了不平衡，则需要做平衡话处理，使其平衡

平衡化旋转

1、如单旋转（左旋和右旋）

2、双旋转（左平衡和右平衡）

3、每插入一个新结点时，AVL树中相关结点的平衡状态会发生改变，因此，需要从插入位置沿通向根的路径回溯，检查各结点的平衡因子（左、右子树的高度差）。

如果在某一结点发现高度不平衡，停止回溯。

1、从发生不平衡的结点起，沿刚才回溯的路径取直接下两层的结点

2、如果这三个结点处于一条直线上，则采用单旋转进行平衡化，单旋转可按其方向分为左单旋和右单旋，其中一个是另一个的镜像，其方向与不平衡的形状相关

3、如果这三个结点处于一条折现上，则采用双旋转进行平衡化，双旋转也分两种。

左单旋转

void RotateLeft(AVLTree* ptree, AVLNode* ptr)//左单旋
{
	assert(ptree != nullptr && ptr != nullptr);
	AVLNode* newroot = ptr->rightchild;
	newroot->parent = ptr->parent;
	ptr->rightchild = newroot->leftchild;
	if (newroot->leftchild != nullptr)
	{
		newroot->leftchild->parent = ptr;
	}
	newroot->leftchild = ptr;
	AVLNode* pa = ptr->parent;
	if (pa == nullptr)
	{
		ptree->root = newroot;
	}
	if (pa->leftchild = ptr)
	{
		pa->leftchild = newroot;
	}
	else
	{
		pa->rightchild = newroot;
	}
	ptr->parent = newroot;
}

右单旋

void RotateRight(AVLTree* ptree, AVLNode* ptr)//右单旋
{
	assert(ptree != nullptr && ptr != nullptr);
	AVLNode* newroot = ptr->leftchild;
	newroot->parent = ptr->parent;
	ptr->leftchild = newroot->rightchild;
	if (newroot->rightchild != nullptr)
	{
		ptr->leftchild->parent = ptr;
	}
	newroot->rightchild = ptr;
	AVLNode* pa = ptr->parent;
	if (pa == nullptr)
	{
		ptree->root = newroot;
	}else
	{
	if (pa->leftchild == ptr)
	{
		pa->leftchild = newroot;
	}
	else
	{
		pa->rightchild = newroot;
	}
	ptr->parent = newroot;
	}
}

双旋转

 

//双旋转 分为两次单旋转
void LeftBalance(AVLTree* ptree, AVLNode* ptr)//左平衡
{
	assert(ptree != nullptr && ptr != nullptr);
	AVLNode* leftsub = ptr->leftchild, * rightsub = nullptr;
	switch (leftsub -> balance)
	{
	case 0:
		cout << "left banlance!" << endl;
		break;
	case -1:
		ptr->balance = 0;
		leftsub->balance = 0;
		RotateRight(ptree, ptr);
		break;
	case 1:
		rightsub = leftsub->rightchild;
		switch (rightsub->balance)
		{
		case 0:
			ptr->balance = 0;
			leftsub->balance = 0;
			break;
		case 1:
			ptr->balance = 0;
			leftsub->balance = -1;
			break;
		case -1:
			ptr->balance = 1;
			leftsub->balance = 0;
			break;
		}
		rightsub->balance = 0;
		RotateLeft(ptree, leftsub);
		RotateRight(ptree, ptr);
		break;
	}
}
void RightBalance(AVLTree* ptree, AVLNode* ptr)//右平衡
{
	assert(ptree != nullptr && ptr != nullptr);
	AVLNode* rightsub = ptr->rightchild, * leftsub = nullptr;
	switch (rightsub->balance)
	{
	case 0:
		cout << "avl tree right balance" << endl;
		break;
	case 1:
		ptr->balance = 0;
		rightsub->balance = 0;
		RotateLeft(ptree, ptr);
		break;
	case -1:
		leftsub = rightsub->leftchild;
		switch (leftsub->balance)
		{
		case 0: 
			ptr->balance = 0;
			rightsub->balance = 0;
			break;
		case 1:
			ptr->balance = -1;
			rightsub->balance = 0;
			break;
		case -1:
			ptr->balance = 0;
			rightsub->balance = 1;
			break;
		}
		leftsub->balance = 0;
		RotateRight(ptree, rightsub);
		RotateLeft(ptree, ptr); 
		break;
	}
	
}

插入和调整

void Adjust_Insert_Item(AVLTree* ptree, AVLNode* ptr)
{
	assert(ptree != nullptr && ptr != nullptr);
	bool taller = true;
	AVLNode* pa = ptr->parent;
	while (pa != nullptr && taller)
	{
		if (pa->leftchild == ptr)
		{
			switch (pa->balance)
			{
			case 0: pa->balance = -1; break;
			case 1: pa->balance = 0;
				taller = false;
				break;
			case -1:
				LeftBalance(ptree, pa);
				taller = false;
				break;
			}
		}
		else
		{	// ptr pa->rightchild
			switch (pa->balance)
			{
			case 0: pa->balance = 1; break;
			case -1: pa->balance = 0;
				taller = false;
				break;
			case 1:
				RightBalance(ptree, pa);
				taller = false;
				break;
			}
		}
		ptr = pa;
		pa = ptr->parent;
	}
}

bool Insert_Item(AVLTree* ptree, const KeyType kx)
{
	assert(ptree != nullptr);
	AVLNode* ptr = ptree->root, * pa = nullptr;
	while (ptr != nullptr && ptr->key != kx)
	{
		pa = ptr;
		ptr = kx > ptr->key ? ptr->rightchild : ptr->leftchild;
	}
	if (ptr != nullptr && ptr->key == kx) return false;

	ptr = Buynode();
	ptr->key = kx;
	ptr->parent = pa; //
	if (pa != nullptr)
	{
		if (ptr->key > pa->key)
		{
			pa->rightchild = ptr;
		}
		else
		{
			pa->leftchild = ptr;
		}
	}
	else
	{
		ptree->root = ptr;
	}
	Adjust_Insert_Item(ptree, ptr);
	ptree->cursize += 1;
}

删除

和删除BST树结点思路相同，如果是双分支，则删除中序遍历的下一个结点