1.图的基本概念

图是由顶点集合以及顶点之间的关系组成的一种数据结构：G = (V,E),其中顶点集合V={x|x属于某个对象集}是有穷非空集合；

E = {(x,y)|x,y属于V}或者E = {<x, y>|x,y属于V && Path(x, y)}是顶点间关系的有穷集合，也叫
做边的集合。

(x, y)表示x到y的一条双向通路，即(x, y)是无方向的；Path(x, y)表示从x到y的一条单向通路，即
Path(x, y)是有方向的。

顶点和边：图中结点称为顶点，第i个顶点记作vi。两个顶点vi和vj相关联称作顶点vi和顶点vj之间
有一条边，图中的第k条边记作ek，ek = (vi，vj)或<vi，vj>。

有向图和无向图：在有向图中，顶点对<x, y>是有序的，顶点对<x，y>称为顶点x到顶点y的一条
边(弧)，<x, y>和<y, x>是两条不同的边，比如下图G3和G4为有向图。在无向图中，顶点对(x, y)
是无序的，顶点对(x,y)称为顶点x和顶点y相关联的一条边，这条边没有特定方向，(x, y)和(y，x)
是同一条边，比如下图G1和G2为无向图。注意：无向边(x, y)等于有向边<x, y>和<y, x>。

完全图：在有n个顶点的无向图中，若有n * (n-1)/2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边，
则称此图为无向完全图，比如上图G1；在n个顶点的有向图中，若有n * (n-1)条边，即任意两个
顶点之间有且仅有方向相反的边，则称此图为有向完全图，比如上图G4。

邻接顶点：在无向图中G中，若(u, v)是E(G)中的一条边，则称u和v互为邻接顶点，并称边(u,v)依
附于顶点u和v；在有向图G中，若<u, v>是E(G)中的一条边，则称顶点u邻接到v，顶点v邻接自顶
点u，并称边<u, v>与顶点u和顶点v相关联。

顶点的度：顶点v的度是指与它相关联的边的条数，记作deg(v)。在有向图中，顶点的度等于该顶
点的入度与出度之和，其中顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作indev(v);顶点v的出度
是以v为起始点的有向边的条数，记作outdev(v)。因此：dev(v) = indev(v) + outdev(v)。注
意：对于无向图，顶点的度等于该顶点的入度和出度，即dev(v) = indev(v) = outdev(v)。

路径：在图G = (V， E)中，若从顶点vi出发有一组边使其可到达顶点vj，则称顶点vi到顶点vj的顶
点序列为从顶点vi到顶点vj的路径。

路径长度：对于不带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数；对于带权的图，一
条路径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和。

简单路径与回路：若路径上各顶点v1，v2，v3，…，vm均不重复，则称这样的路径为简单路
径。若路径上第一个顶点v1和最后一个顶点vm重合，则称这样的路径为回路或环。

子图：设图G = {V, E}和图G1 = {V1，E1}，若V1属于V且E1属于E，则称G1是G的子图。

连通图：在无向图中，若从顶点v1到顶点v2有路径，则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任
意一对顶点都是连通的，则称此图为连通图。

强连通图：在有向图中，若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径，也存在一条从vj
到vi的路径，则称此图是强连通图。

生成树：在无向图中，一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n-1条边。

2.图的存储结构

因为图中既有节点，又有边(节点与节点之间的关系)，因此，在图的存储中，只需要保存：节点和
边关系即可。节点保存比较简单，只需要一段连续空间即可，那边关系该怎么保存呢？

2.1邻接矩阵

因为节点与节点之间的关系就是连通与否，即为0或者1，因此邻接矩阵(二维数组)即是：先用一
个数组将定点保存，然后采用矩阵来表示节点与节点之间的关系。

注意：

1. 无向图的邻接矩阵是对称的，第i行(列)元素之和，就是顶点i的度。有向图的邻接矩阵则不一
定是对称的，第i行(列)元素之后就是顶点i 的出(入)度。
2. 如果边带有权值，并且两个节点之间是连通的，上图中的边的关系就用权值代替，如果两个
顶点不通，则使用无穷大代替。

3. 用邻接矩阵存储图的优点是能够快速知道两个顶点是否连通，缺陷是如果顶点比较多，边比
较少时，矩阵中存储了大量的0成为系数矩阵，比较浪费空间，并且要求两个节点之间的路
径不是很好求。

代码实现：

#include<iostream>
#include<vector>
#include<map>
#include<string>
using namespace std;

namespace matrix
{
	template<class V,class W,W MAX_W = INT_MAX,bool Direction = false>
	class Graph
	{
	public:
		//构造：顶点，边，下标
		//"0123", 4
		Graph(const V* vertexs, size_t n)
		{
			_vertexs.reserve(n);
			for (size_t i = 0; i < n; i++)
			{
				_vertexs.push_back(vertexs[i]);
				_indexMap[vertexs[i]] = i;
			}
			//MAX_W作为不存在边的标识
			_matrix.resize(n);
			for (auto& e : _matrix)
			{
				e.resize(n, MAX_W);
			}
		}
		void _addEdge(size_t srci, size_t dsti, const W& w)
		{
			_matrix[srci][dsti] = w;
			if (Direction == false)
				_matrix[dsti][srci] = w;
		}
		size_t GetVertexIndex(const V& v)
		{
			auto ret = _indexMap.find(v);
			if (ret != _indexMap.end())
				return ret->second;
			else
				return -1;
		}
		//添加边：
		void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
		{
			size_t srci = GetVertexIndex(src);
			size_t dsti = GetVertexIndex(dst);
			_addEdge(srci, dsti, w);
		}
		void Print()
		{
			//打印顶点和下标的映射关系
			for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
			{
				cout << _vertexs[i] << "-" << i << " ";
			}
			cout << endl;
			for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
			{
				if (i == 0)
					cout << "  ";
				cout << i << " ";
			}
			cout << endl;
			//打印矩阵：
			for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); i++)
			{
				cout << i << " ";
				for (size_t j = 0; j < _matrix[i].size(); j++)
				{
					if (_matrix[i][j] != INT_MAX)
						cout << _matrix[i][j] << " ";
					else
						cout << "*" << " ";
				}
				cout << endl;
			}
			cout << endl;
			//打印所有的边：
			for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); i++)
			{
				for (size_t j = 0; j < _matrix[i].size(); j++)
				{
					if (_matrix[i][j] != INT_MAX)
						cout << _vertexs[i] << "-" << _vertexs[j] << ":" << _matrix[i][j] << endl;
				}
			}
		}
	private:
		vector<V> _vertexs; //存储顶点的集合
		vector<vector<W>> _matrix; //存储边集合的矩阵
		map<V, int> _indexMap;//顶点映射下标
	};
	void TestGraph()
	{
		Graph<char, int, INT_MAX, true> g("0123", 4);
		g.AddEdge('0', '1', 1);
		g.AddEdge('0', '3', 4);
		g.AddEdge('1', '3', 2);
		g.AddEdge('1', '2', 9);
		g.AddEdge('2', '3', 8);
		g.AddEdge('2', '1', 5);
		g.AddEdge('2', '0', 3);
		g.AddEdge('3', '2', 6);

		g.Print();
	}
}

2.2 邻接表

邻接表：使用数组表示顶点的集合，使用链表表示边的关系。

1. 无向图邻接表存储

注意：无向图中同一条边在邻接表中出现了两次。如果想知道顶点vi的度，只需要知道顶点vi边链表集合中结点的数目即可。

注意：有向图中每条边在邻接表中只出现一次，与顶点vi对应的邻接表所含结点的个数，就是该顶点的出度，也称出度表，要得到vi顶点的入度，必须检测其他所有顶点对应的边链表，看有多少边顶点的dst取值是i。

代码实现：

#include<iostream>
#include<vector>
#include<map>
#include<string>
using namespace std;
//邻接表
namespace link_table
{
	template<class W>
	struct Edge
	{
		int _destIndex;
		W _w;
		Edge<W>* _next;
		Edge(int destIndex,const W&w)
			:_destIndex(destIndex),_w(w),_next(nullptr) {}
	};
	template<class V, class W, bool Direction = false>
	class Graph
	{
		typedef Edge<W> Edge;
	public:
		Graph(const V* vertexs, size_t n)
		{
			_vertexs.reserve(n);
			for (size_t i = 0; i < n; i++)
			{
				_vertexs.push_back(vertexs[i]);
				_indexMap[vertexs[i]] = i;
			}
			_tables.resize(n, nullptr);
		}
		size_t GetVertexIndex(const V& v)
		{
			auto ret = _indexMap.find(v);
			if (ret != _indexMap.end())
				return ret->second;
			else
				return -1;
		}
		//添加边：
		void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
		{
			size_t srci = GetVertexIndex(src);
			size_t dsti = GetVertexIndex(dst);
			Edge* eg = new Edge(dsti, w);
			eg->_next = _tables[srci];
			_tables[srci] = eg;
			if (Direction == false)
			{
				Edge* eg = new Edge(srci, w);
				eg->_next = _tables[dsti];
				_tables[dsti] = eg;
			}
		}
		void Print()
		{
			//打印顶点和下标的映射关系
			for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
			{
				cout << _vertexs[i] << "-" << i << " ";
			}
			//打印连接的边：
			for (size_t i = 0; i < _tables.size(); i++)
			{
				cout << _vertexs[i] << "[" << i << "]->";
				Edge* cur = _tables[i];
				while (cur)
				{
					cout <<"[" << _vertexs[cur->_destIndex] << "[" << cur->_destIndex << "]" << cur->_w << "]->";
					cur = cur->_next;
				}
				cout << endl;
			}
		}
	private:
		vector<V> _vertexs; //存储顶点的集合
		map<V, int> _indexMap;//顶点映射下标
		vector<Edge*> _tables;
	};
	void TestGraph()
	{
		string a[] = { "张三", "李四", "王五", "赵六" };
		Graph<string, int> g1(a, 4);
		g1.AddEdge("张三", "李四", 100);
		g1.AddEdge("张三", "王五", 200);
		g1.AddEdge("王五", "赵六", 30);
		g1.Print();
	}
}

3.图的遍历

3.1广度优先遍历

给定一个图G和其中任意一个顶点v0，从v0出发，沿着图中各边访问图中的所有顶点，且每个顶
点仅被遍历一次。

代码实现：

        void BFS(const V& src)
		{
			size_t srci = GetVertexIndex(src);
			queue<int> q;
			//标记访问过的顶点
			vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);
			q.push(srci);
			int levelSize = q.size();
			visited[srci] = true;
			while (!q.empty())
			{
				//一层一层的出
				for (int i = 0; i < levelSize; i++)
				{
					int front = q.front();
					q.pop();
					cout << front << ":" << _vertexs[front] << " ";
					for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
					{
						if (_matrix[front][i] != INT_MAX)
						{
							if (visited[i] == false)
							{
								q.push(i);
								visited[i] = true;
							}
						}
					}
				}
				cout << endl;
				levelSize = q.size();
			}
			cout << endl;
		}

3.2图的深度遍历

        void _DFS(size_t srci, vector<bool>& visited)
		{
			cout << srci << ":" << _vertexs[srci] << endl;
			visited[srci] = true;
			//找相邻的点，深度进行遍历
			for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
			{
				if(_matrix[srci][i] != INT_MAX && visited[i] == false)
					_DFS(i, visited);
			}
		}
		void DFS(const V& src)
		{
			size_t srci = GetVertexIndex(src);
			vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);
			_DFS(srci, visited);
		}