莫比乌斯

0 前言

建议先看这篇比较简略的文章（有大概了解）

莫比乌斯函数_为最后的荣光的博客-CSDN博客

再根据个人情况食用本篇博客

1 莫比乌斯函数

1 1 定义

首先对 $n$ 唯一分解：

唯一分解：

唯一分解定理一篇就够了_求唯一分解式程序_JdiLfc的博客-CSDN博客

唯一分解定理及其证明 - 夶 - 博客园 (cnblogs.com)

$$n=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\dots p_m^{k_m},其中p_i为n的互异质因子,\forall i,k_i为正整数\text{\hspace{1em}(0)}$$

$$\mu (n)=\{\begin{array}{l}1,n=1\\ 0,\exists i,k_i\ne 1\\ (-1{)}^m,\forall i,k_i=1\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

1 2 性质

1 2 1 性质一

莫比乌斯函数是积性函数

积性函数：

（在这里只需要知道定义基本上就🆗了）

[积性函数的性质及证明 + 线性筛_新熊君的博客-CSDN博客](https://blog.csdn.net/wubaizhe/article/details/76711158#:~:text=定义： 对于一个定义域为 N %2B 的函数 f ，对于任意两个互质的正整数 a%2Cb,(ab) %3D f (a)f (b) ，则函数 f 被称为完全积性函数。)

积性函数 - Wuweizheng - 博客园 (cnblogs.com)

积性函数与线性筛 - 租酥雨 - 博客园 (cnblogs.com)

即$\mu (nm)=\mu (n)\mu (m)$

这个证明过于显然了点

1. $m=1$，所以$\mu (mn)=\mu (1)\mu (n)=\mu (n)$

   因为$\mu (m)=\mu (1)=1$，$\mu (m)\mu (n)=\mu (mn)$成立

2. 当$gcd(n,m)=1$时，显然 $m,n$ 各自互异质因子的并集= $mn$ 的互异质因子

   并且无交集（因为$m,n$互质）

   所以 $m$ 互异质因子个数+ $n$ 互异质因子个数 = $mn$ 的互异质因子个数

   $\mu (m)\mu (n)=(-1{)}^{s_m}(-1{)}^{s_n}=(-1{)}^{s_m+s_n}=\mu (mn)$成立

   其中 $s_n$ 表示 $n$ 互异质因子的个数

1 2 2 性质二

对于任意正整数 $n$ ，有：
$$\sum _{d|n}\mu (d)=\{\begin{array}{l}1,n=1\\ 0,n\ne 1\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

证明：

1. $n=1$ 时，${\sum }_{d|n}\mu (d)=\mu (1)=1$

2. $n\ne 1$ 时，${\sum }_{d|n}\mu (d)={\sum }_{i=0}^m{C}_m^i(-1{)}^i=0$

   为什么呢？

   首先对 $n$ 唯一分解 （查看$(0)$）

   设 $d=p_1^{q_1}{p}_2^{q_2}\dots p_m^{q_m}$，其中 $\forall 1\le i\le m,0\le q_i\le k_i$

   当 $\exists i,q_i\ge 2$ 时，$\mu (d)=0$

   因此我们只需要考虑只存在 $q_i=1or0$ 的情况

   设$s={\sum }_{i=1}^m[q_i\ne 0]$

   那么$\mu (d)=(-1{)}^s$

   这样的 $d$ 显然只有 $C_m^s$ 个

   解释：

   因为当 $d$ 有 $s$ 个互异质因子的时候

   这 $s$ 个质因子显然是 $n$ 的 $m$ 个互异质因子之中

   因此 $d$ 就是从 $m$ 个数中选 $s$ 个数（有区别）的方案数

   即组合数$C_m^s$

   虽然是从0开始，但不至于连组合数是什么都不知道吧

   因此，现在我们可以得出：

   ${\sum }_{d|n}\mu (d)={\sum }_{s=0}^m{C}_m^s(-1{)}^s$

   根据二项式定理，${\sum }_{d|n}\mu (d)={\sum }_{s=0}^m{C}_m^s(-1{)}^s=0$

   二项式定理：

   【高中数学基础课】二项式定理 - 知乎 (zhihu.com)

   emmm还是只看公式就基本上🆗了反正我们是信息竞赛又不是数学竞赛

   不过要是有dalao能把证明看懂的话就orz

   （但是这好像是高中数学的知识，初三狗表示我不会）

1 3 求解

由于$\mu (n)$ 是积性函数，所以可以用线性筛法在$O(n)$内完成

不知道的看积性函数

void get_mu(ll n){
    mu[1]=1;// 存放 莫比乌斯函数；
    //isp[] 存放 是否是质数
    //pri[]  存放  质数 
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!isp[i]) {
            pri[++cnt]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;j++){
            isp[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0){
                mu[i*pri[j]]=0;
                break;
            }//也可以直接break 因为里面本来存的就是0 
            else mu[i*pri[j]]=-mu[i];            
        }        
    } 
}

1 4 *超级实用的“公式”

$$[gcd(i,j)=1]=\sum _{d|gcd(i,j)}\mu (d)$$

证明：

根据性质二${\sum }_{d|n}\mu (d)=[n=1]$

将$gcd(i,j)$带入上式$n$

得到${\sum }_{d|gcd(i,j)}\mu (d)=[gcd(i,j)=1]$

2 莫比乌斯反演

2 1 公式

$$f(n)=\sum _{d|n}g(d)\Rightarrow g(n)=\sum _{d|n}f(\frac{n}{d})\mu (d)$$

2 2 证明

2 3 变形

2 3 1 形式一（倍数形式）

$$f(i)=\sum _{d=1}^{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }g(di)\Rightarrow g(i)=\sum _{d=1}^{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }f(di)\mu (d)$$

证明：

（和一般形式类似）

将 $g(i)={\sum }_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }f(di)\mu (d)$ 带入前式
$$f(i)=\sum _{d=1}^{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }g(di)$$

$$f(i)=\sum _{d=1}^{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }\sum _{d_1=1}^{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }f(d{d}_{1}i)\mu (d_1)$$

设$T=dd1$，则：
$$f(i)=\sum _{T=1}^{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }\sum _{d=1}^{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }f(Ti)\mu (\frac{T}{d})$$

$$f(i)=\sum _{T=1}^{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }f(Ti)[\sum _{d=1}^{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }\mu (\frac{T}{d})]$$

$$f(i)=\sum _{T=1}^{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }f(Ti)[\sum _{d_1|T}\mu (d_1)]$$

根据莫比乌斯函数的性质二
$$\sum _{d|n}\mu (d)=\{\begin{array}{l}1,n=1\\ 0,n\ne 1\end{array}$$
当$T=1$时，${\sum }_{d_1|T}\mu (d_1)=1$，$f(i)[{\sum }_{d_1|T}\mu (d_1)]=f(i)\mu (1)=f(i)$

当$T\ne 1$时，${\sum }_{d_1|T}\mu (d_1)=0$，$f(Ti)[{\sum }_{d_1|T}\mu (d_1)]=0$

综上，
$$f(i)=\sum _{T=1}^{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }f(Ti)[\sum _{d_1|T}\mu (d_1)]=f(i)$$

2 3 2 形式二（整除形式）

$$f(i)=\sum _{d|i}g(d)\Rightarrow g(i)=\sum _{d|i}f(\frac{i}{d})\mu (d)$$

就是一般形式

2 4 性质

$$f(n)是积性函数\iff g(n)是积性函数$$

3 应用

3 1 [HAOI2011]Problem b

3 1 1 题目大意

求当 $i\in [a,b],j\in [c,d]$，满足$gcd(i,j)=k$的数对$(i,j)$的个数

即
$$ans=\sum _{i=a}^b\sum _{j=c}^d[gcd(i,j)=k]$$

3 1 2 SOLUTION

定义函数$f$

$f(n,m)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m[gcd(i,j)=k]$

显然$ans$可以由函数 $f$ 容斥得到

$ans=f(c,d)-f(a-1,d)-f(b,c-1)+f(a-1,c-1)$

现在考虑怎么求$f$

根据1 1 4*超级实用的公式可得
$$f(n,m)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)=k]$$

$$f(n,m)=\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{k}\rfloor }\sum _{d|gcd(i,j)}\mu (d)$$

枚举$d^{\prime }=\frac{d}{gcd}$

$$f(n,m)=\sum _{d=1}^{min(\lfloor \frac{n}{k}\rfloor ,\lfloor \frac{m}{k}\rfloor )}\mu (d)g(kd)$$

$$g(d)表示i[1,n],j[1,m]满足d|gcd(x,y)的对数$$

$$显然可以知道g(d)=\lfloor \frac{n}{d}\rfloor \lfloor \frac{m}{d}\rfloor$$

$$f(n,m)=\sum _{d=1}^{min(\lfloor \frac{n}{k}\rfloor ,\lfloor \frac{m}{k}\rfloor )}\mu (d)\times \lfloor \frac{n}{kd}\rfloor \times \lfloor \frac{m}{kd}\rfloor$$

浅谈莫比乌斯反演 - B1ueC4t 的博客 - 洛谷博客 (luogu.com.cn)

莫比乌斯反演-让我们从基础开始 - An_Account 的博客 - 洛谷博客 (luogu.com.cn)

莫比乌斯反演 - OI Wiki (oi-wiki.org)

莫比乌斯函数及其应用 - ZAP-Queries + Problem b + GCD_莫比乌斯函数应用_njuptACMcxk的博客-CSDN博客

就可以直接计算了

就是这么简单~~（才怪）~~

3 1 3 CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e4+2;
int T,a,b,c,d,k,mu[N],SumMu[N],pri[N],isp[N],cnt;
int Mobius(int n,int m,int k){//(i[1,n]j[1,m]{[gcd(i,j)=k]})的个数
    if(n>m) swap(n,m);
    n/=k,m/=k; 
    int ans=0;
    for(int i=1,j;i<=n;i=j+1) {
        j=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans+=(SumMu[j]-SumMu[i-1])*(n/i)*(m/i);
    }
    return ans;
}
void Mu(int n);//见模板部分
int main(){
    Mu(N-2);
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>T;
    while(T--){
        cin>>a>>b>>c>>d>>k;
        cout<<Mobius(b,d,k)-Mobius(b,c-1,k)-Mobius(a-1,d,k)+Mobius(a-1,c-1,k)<<"\n";
    }
    return 0;
}

「BZOJ2693」jzptab

【BZOJ2693】jzptab - yoyoball - 博客园 (cnblogs.com)

搞半天发现这个模数搞错了。。。。尬住了,ԾㅂԾ,

[BZOJ4407]于神之怒加强版 - 租酥雨 - 博客园 (cnblogs.com)

枚举倍数真的是一个非常常见并且常用的套路啊!!

4 后话

整除分块 - pengym - 博客园 (cnblogs.com)

最后，我想说莫比乌斯反演-让我们从基础开始 - An_Account 的博客 - 洛谷博客 (luogu.com.cn)这篇博客非常的实用(just tell you the sercet of the common probelms’ solution)，但是如果想彻底了解的话，我们还是老老实实学吧…( ＿ ＿)ノ｜

完结撒花❀

★,°:.☆(￣▽￣)/$:.°★ 。