Vectors向量
一、向量的介绍
- 表示一个方向。
- 计算向量的方法：AB =（B-A）。
- 向量对应的单位向量 = AB / ||AB|| 。
- 向量具有平移性，我们不关心它的开始位置。
- 向量求和：三角形法则和平行四边形法则。在代数上计算直接把向量的对应坐标相加即可。
- 向量可表示为一个列向量
（1）向量的点乘
- 向量点乘的结果是它们间夹角的余弦值。
- 向量点乘的计算是对应坐标相乘，向量点乘满足交换律、分配律、结合律。
- 向量的投影为：被投影向量长度乘以两向量间夹角的余弦。
- 向量的分解：根据向量投影和加法分解到两个互相垂直的轴上。
- 依据向量点乘判断向量间是否同向和接近：同向则夹角小于等于90°，则夹角余弦大于0小于1；两向量越接近夹角越小，夹角余弦越接近1。
（2）向量的叉乘
- 向量的叉乘：叉乘的结果叉积为向量，且这个向量垂直与两向量垂直。
- 上图介绍了向量叉乘大小的计算，而对于方向，伸出右手，四指指向第一个叉乘向量的方向，再让四指慢慢弯向第二个叉乘向量的方向，此时大拇指所指方向就为叉积结果方向。注意从第一个向量转向第二个向量，要选它们之间较小的夹角，其次对于手的旋转，手指只能向手心旋转而不能是手背。
- 叉乘不满足交换律，交互叉乘顺序后叉积结果与原结果方向相反。
- 叉乘的作用：计算坐标轴
二、坐标系
- 如果在一个坐标系中x轴叉乘y轴得到z轴，我们就称它为右手坐标系，因为它的叉乘是按照右手螺旋定则运算。GAMES101中都使用右手坐标系。
- 对于OpenGL等API中，使用的是左手坐标系，即x轴叉乘y轴得到负z轴。
（1）叉乘的代数运算
- 叉乘没有交换律，如果要交换且保持结果不变需要加一个符号。物理矢量叉乘都是使用右手螺旋定则。
- 向量自己叉乘得到的是一个长度为0的向量。
- 向量叉积结果的代数运算，可以将向量通过下图方式转换为矩阵进行运算
（2）向量叉积的作用
- 判断左和右。左右的定义：如果向量A逆时针旋转180°以能和向量B同向，则说明向量A在向量B的右侧，反之说明A在左侧。
- 设想我们屏幕上有两个向量，我们要判断它们的相对左右关系，我们将两个向量的z值都设为0使得两个向量都处于XY平面中（其实我们视觉上也是想判断它们基于XY平面的相对左右关系）。
- 我们对这个两个位于XY平面中的向量A、B做叉乘A×B。设Z轴正半轴指向屏幕以外。如果结果叉积的Z值为正，则根据右手螺旋定则，说明A向量位于B向量的右边，为负则说明A向量位于B向量的左边。注意实际计算时，要根据坐标系的建立、视线方向去调整对叉乘结果的解释。
- 判断内和外。思想如下图所示，判断哪侧根据叉积。算法代码。注意也可以依次叉乘A B C，即AB×AP、BC×BP、CA×CP，它们的值符号都应该相同，如果有一个值为0则说明P点在三角形某一边上，可自定义其在内还是外。
（3）建立坐标系
- 建立互相垂直的u、v、w右手坐标系，将向量P沿着各个坐标轴进行分解。由于||u||=1，因此p·u就为p在u方向上的投影。
三、矩阵
（1）矩阵的乘积
- 矩阵乘积的要求：要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
- AB一般不等于BA。矩阵运算的规律，记住不能对调
（2）矩阵转置
- 行列互换
- 矩阵相乘的转置
（3）单位矩阵和逆矩阵
- 单位矩阵是对角矩阵，对角矩阵是主对角线以外元素全为0.
- 一个矩阵的逆矩阵，和其相乘结果为单位矩阵。
（4）向量与矩阵
- 向量的点乘和叉乘都可以写成矩阵形式，点乘需要转置其中一个向量，叉乘需要将向量转换为矩阵。
