前言

AVL树可以说是对二叉搜索树的优化，我们来看二叉树搜索树的下一面一种特殊情况：
在这里插入图片描述
当我们插入的数是上面的情况时，二叉树搜索树的特点就形同虚设了，这就相当于一个长度为N的单链表了，那么时间复杂度就是O(N)了。
那么AVL树为了处理这种情况的发生呢，就应运而生。

先来大致的说一下AVL是怎么处理才能避免出现这种情况的。AVL树主要是通过几种旋转的方式，控制了整颗树的任意结点的高度差不超过1，如果超过1，就会发生旋转。

AVL树的定义：
当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

它的左右子树都是AVL树。
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1。

AVL树的结点定义：
在上面提到了平衡因子是左右子树的高度差的绝对值，为了代码的实现的更明确，我们采用右子树的高度减去左子树的高度

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;

	pair<K, V> _kv;
	int _bf;//平衡因子(该结点的左右子树的高度差),右子树的高度减去左子树的高度

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		: _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		, _bf(0)
	{}
};

因为在高度不满足条件的时候，涉及到旋转，而旋转就必须要有一个指针指向前一个结点，所以我们在定义结点的时候，将结点定义成了三叉链的结构。
再提一句就是关于这个pari<K, V> _kv。我们在实现的时候，完全可以根据自己的场景需要来决定是否使用pair。如果你仅仅需要一个值的话，是可以只提供一个模板参数的。

在正式的谈旋转之前，我们要先将能触发旋转的场景全部分析出来，主要的就是四种大场景。
其中左单旋和右单旋都是比较简单的。

左单旋

那么下面我们就用画图的方式来看一下如何触发左单旋。
在这里插入图片描述
上图的a b c矩形代表的是各种满足AVL的结点的情况，因为不同的情况有很多很多种，所以这里就以抽象图来观察我们的旋转的情况，这种抽象图也是大佬在观察了很多种情况总结出来的。

在上图中，当我们要在c结点插入一个新结点的时候(先不用考虑增加b的情况，这种情况是会引用发更为复杂的旋转的情况，下面会具体分析)，c的高度就会增加1，变成h+1高度。c结点的高度的变化会直接影响其父亲结点的高度差，也就是60结点的高度差会由0变成1。60的高度的更新，又会影响其父亲结点的高度差的变化，当c的高度增加1的时候，增颗右子树的高度就会由h+1变成h+2，这时根节点30的左右子树的高度差就由1变成了2。
如下图所示：
在这里插入图片描述
此时根节点的高度差不满足绝对值小于1了，这时候的解决办法就是左旋转一下。
过程如下：

将60的左子树给30做右子树。
30做60的左子树。
结果如下图所示：

11e4c0b9cd9.png)
大家可以想一下为什么可以这样做？提示：二叉搜索树的特点是什么?

旋转完成之后，30和60的平衡因子需要再重新更新一下。
代码如下：
parent就是引发旋转的那个结点，上图中就是30。

void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		//1.
		parent->_right = subRL;
		subR->_left = parent;

		//2.更改parent指向
		if (subRL != nullptr)
			subRL->_parent = parent;

		Node* ppNode = parent->_parent;//在更改parent的_parent之前记录下parent的父结点
		parent->_parent = subR;
		//3.还需要进行判断，该parent是否是整个树的根节点还是子树的根节点
		if (ppNode == nullptr)
		{
			//parent是整个树的根节点
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
				ppNode->_left = subR;
			else
				ppNode->_right = subR;

			subR->_parent = ppNode;
		}
		
		//4.更新平衡因子
		subR->_bf = parent->_bf = 0;
	}

大家把变量名带上再画一张旋转的图就更容易理解代码的逻辑。

右单旋

右单旋其实和左单旋可以说是完全对称的结构，下面给出右单旋的所示图，过程就不再解释了，和左单旋并没有什么本质上的区别。
在这里插入图片描述
旋转完成之后，记得更新平衡因子的值。
以下是代码：

void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		//1.
		parent->_left = subLR;
		subL->_right = parent;

		//2.更改parent指向
		if (subLR != nullptr)
			subLR->_parent = parent;

		Node* ppNode = parent->_parent;
		parent->_parent = subL;

		//3.还需要进行判断，该parent是否是整个树的根节点还是子树的根节点
		if (ppNode == nullptr)
		{
			//parent是整个树的根节点
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if(ppNode->_left == parent)
				ppNode->_left = subL;
			else
				ppNode->_right = subL;

			subL->_parent = ppNode;
		}
		//4.更新平衡因子
		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}

下面是两种单旋图的所示图，放在一起对比大家再来看，是真的没什么本质的区别：
在这里插入图片描述

左右双旋

接下来的双旋的场景，说难也不难，说简单也不简单哈哈！
还是同样的我们以抽象图来画图，这里提一句大家可以将抽象图画成具体的实例图去走旋转，只不过实例图的场景实在是太多，不太适合拿出来举例子，也不具有说服力，这四种旋转的抽象图就是包含了各种场景的四种分类。
如果不理解直接记住也行的。

还是先给出一颗AVL树，如下所示：
在这里插入图片描述
此时如果我们在60结点的左子树或者右子树下插入新的结点，引发的高度差变化就如下图所示：
（在b或者c插入引发的是同一种双旋，但是虽然是同一种双旋，但是会导致最后的更新的平衡因子不同，所以在进行旋转之前我们要事先记录下，60结点的平衡因子，在后序的更新平衡因子的时候，我们会用到这一点）
在这里插入图片描述
这时候的根节点的做右子树的高度差不再满足条件，就会触发旋转，这种场景仅仅一次单旋肯定是没法解决的，所示我们就需要双旋了。

第一次单旋：先对30结点进行左单旋，结果如下图所示：
在这里插入图片描述
第二次单旋：对90结点进行右单旋，结果如下图所示：

左旋和右旋的规则上面已经介绍过了，可以看出，双旋也就是两次单旋组合的，只不过在最后的旋转完成之后，需要对一些结点的平衡因子进行更新，更新平衡因子和单旋的时候不一样，所示在实现双旋的代码的时候，对于旋转，只需要复用之前写的单旋的代码，自己最后写一下关于平衡因子的更新即可。

代码如下：

void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;//根据这个结点的平衡因子来确定新形成的AVL树的平衡因子

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		//无论那种情况，subL(根)的平衡因子都是0
		subLR->_bf = 0;
		if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = subL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			//结合画抽象图来看平衡因子怎么更新！！！！！！！！！！！！！！！！！--易错点
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

右左双旋

右左双旋和左右双旋的关系呢，和左单旋和右单旋的关系是一样的，也是对称的关，只不过最后的平衡因子的更新还是需要根据画图来进行判断。

以下是右左双旋的过程示意图：
在这里插入图片描述
代码：

void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		subRL->_bf = 0;
		if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = subR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf =-1;
			subR->_bf = 0;
		}
		else
			assert(false);
	}

左右双旋和右左双旋的对比示意图：
在这里插入图片描述

检查是否这颗树是否是AVL树

最后我们需要写一个函数，来检查用我们上面实现出来的 AVL树是满足要求的，即是一颗正确的AVL树。
值得一提的是，我们不能使用平衡因子来检查这颗树是否是正确的AVL树，因为平衡因子的更新也是我们自己写的，如果说因为我们自己的写的平衡因子有错误，而没有检查出来这颗树是有问题的，那么就无法保证改树是AVL树了。

思路如下：
既然平衡因子用不了，那么我们可以考虑直接计算出每个结点的左右子树的高度差，直接通过高度差来判断每个结点的高度差是否小于2。如果说不满足，那么就是我们实现的有问题，如果全部都检查完了，就说明我们实现的代码是能够构造出一颗正确的AVL树的。

代码如下：

bool isBalance()
	{
		return _isBalance(_root);
	}
private:
	bool _isBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return true;

		int leftHT = Height(root->_left);
		int rightHT = Height(root->_right);
		int diff = rightHT - leftHT;

		if (diff != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}
		//所有的结点都满足AVLTree这颗树才是AVLTree
		return abs(diff) < 2
			&& _isBalance(root->_left)
			&& _isBalance(root->_right);
	}
	int Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		return max(Height(root->_left), Height(root->_right)) + 1;
	}