参考资料

路径规划与轨迹跟踪系列算法
蚁群算法原理及其实现
蚁群算法详解（含例程）
图说蚁群算法(ACO)附源码
蚁群算法Python实现

1. 简介

蚁群算法（Ant Colony Algorithm, ACO）于1991年首次提出，该算法模拟了自然界中蚂蚁的觅食行为。蚂蚁在寻找食物源时，会在其经过的路径上释放一种信息素，并能够感知其它蚂蚁释放的信息素。信息素浓度的大小表征路径的远近， 信息素浓度越高，表示对应的路径距离越短。通常，蚂蚁会以较大的概率优先选择信息素浓度较高的路径，并释放一定量的信息素，以增强该条路径上的信息素浓度，这样，会形成一个正反馈。最终，蚂蚁能够找到一条从巢穴到食物源的最佳路径，即距离最短。

2. 基本思想

用蚂蚁的行走路径表示待优化问题的可行解，整个蚂蚁群体的所有路径构成待优化问题的解空间。
路径较短的蚂蚁释放的信息素量较多，随着时间的推进，较短的路径上累积的信息素浓度逐渐增高，选择该路径的蚂蚁个数也愈来愈多。
最终，整个蚂蚁会在正反馈的作用下集中到最佳的路径上，此时对应的便是待优化问题的最优解。

3. 算法精讲

不失一般性，我们定义一个具有N个节点的有权图 $G = (N, A)$ ，其中N表示节点集合 $N={1,2,...,n}$ ，A表示边， $A={(i,j)|i,j\in N}$ 。节点之间的距离（权重）设为 $(d_{ij})_{n\times n}$ ，目标函数即最小化起点到终点的距离之和。

设整个蚂蚊群体中蚂蚊的数量为 $m$ , 路径节点的数量为 $n$ , 节点 $i$ 与节点 $j$ 之间的相互距离为 $d_{i j}(i, j=1,2, \ldots, n), t$ 时刻节点 $i$ 与节点 $j$ 连接路径上的信息素浓度为 $\tau_{i j}(t)$ 。初始时刻, 各个节点间连接路径上的信息素浓度相同, 不妨设为 $\tau_{i j}(0)=\tau_{0}$ 。
蚂蚁 $\ldots, m)$ 根据各个节点间连接路径上的信息素浓度决定其下一个访问节点, 设 $P_{i j}^{k}(t)$ 表示 $t$ 时刻蚂蚊 $k$ 从节点 $i$ 转移到节点 $j$ 的概率, 其计算公式如下:
$\tag{1} P_{i j}^{k}= \begin{cases}\frac{\left[\tau_{i j}(t)\right]^{\alpha} \cdot\left[\eta_{i j}(t)\right]^{\beta}}{\sum_{s \in \text { allow }_{k}}\left[\tau_{i s}(t)\right]^{\alpha} \cdot\left[\eta_{i s}(t)\right]^{\beta}} & s \in \text { allow }_{k} \\ 0 & s \notin \text { allow }_{k}\end{cases}$

其中,
- $\eta_{i j}(t)$ 为启发函数, $\eta_{i j}(t)=1 / d_{i j}$ , 表示蚂蚊从节点 $i$ 转移到节点 $j$ 的期望程度，
- $allow_{k}(k=1,2, \ldots, m)$ 为蚂蚁 $k$ 待访问节点的集合。开始时, $allow_{k}$ 中有(n-1)个元素,即包括除了蚂蚁 $k$ 出发节点的其它所有节点。随着时间的推进, allow $_{k}$ 中的元素不断减少, 直至为空, 即表示所有的节点均访问完毕。
- $\alpha$ 为信息素重要程度因子, 其值越大, 蚂蚁选择之前走过的路径可能性就越大,搜索路径的随机性减弱, 其值越小,蚁群搜索范围就会减少,容易陷入局部最优。一般取值范围为 $[0, 5]$ 。
- $\beta$ 为启发函数重要程度因子, 其值越大, 表示启发函数在转移中的作用越大, 即蚂蚊会以较大的摡率转移到距离短的节点，蚁群就越容易选择局部较短路径,这时算法的收敛速度是加快了，但是随机性却不高，容易得到局部的相对最优。一般取值范围为 $[0, 5]$ 。
计算完节点间的转移概率后，采用与遗传算法中一样的轮盘赌方法选择下一个待访问的节点。

依据轮盘赌法来选择下一个待访问的节点，而不是直接按概率大小选择，是因为这样可以扩大搜索范围，进而寻找全局最优，避免陷入局部最优。

首先计算每个个体的累积概率 $q_{j}$ ，如下式:
$\tag{2} q_{j}=\sum_{j=1}^{l} P_{i j}^{k}$
$q_{j}$ 相当于转盘上的跨度，跨度越大的区域越容易选到， $l$ 代表下一步可选路径的数量。
之后随机生成一个 $(0 ， 1)$ 的小数 $\mathrm{r}$ ，比较所有 $q_{j}$ 与 $\mathrm{r}$ 的大小，选出大于 $r$ 的最小的那个 $q_{j} ，$ 该 $q_{j}$ 对应的索引 $j$ 即为第 $\mathrm{k}$ 只蚂蚁在第 $i$ 条路径时下一步要选择的目标点。
$\tag{3} \begin{gathered} r=\operatorname{rand}(0,1) \\ j=\operatorname{index}\left\{\min \left[q_{j}>r\right]\right\} \end{gathered}$
在蚂蚁释放信息素的同时，各个节点间连接路径上的信息素逐渐消失,设参数 $\rho(0<\rho<1，一般取值为0.1$ ~ $0.99)$ 表示 信息素的挥发程度。当所有的蚂蚁完成一次循环后，各个节点间链接路径上的信息素浓度需进行更新，计算公式为
$\tag{4} \left\{\begin{array}{l} \tau_{i j}(t+1)=(1-\rho) \tau_{i j}(t)+\Delta \tau_{i j} \\ \Delta \tau_{i j}=\sum_{k=1}^{n} \Delta \tau_{i j}^{k} \end{array}\right.$
其中， $\Delta \tau_{i j}^{k}$ 表示第 $k$ 只蚂蚁在节点 $i$ 与节点 $j$ 连接路径上释放的信息素浓度； $\Delta \tau_{i j}$ 表示所有蚂蚁在节点 $i$ 与节点 $j$ 连接路径上释放的信息素浓度之和。

蚂蚁信息素更新的模型包括蚁周模型（Ant-Cycle模型）、蚁量模型（Ant-Quantity模型）、蚁密模型（Ant-Density模型）等。

区别：

蚁周模型利用的是全局信息，即蚂蚁完成一个循环后更新所有路径上的信息素；
蚁量和蚁密模型利用的是局部信息，即蚂蚁完成一步后更新路径上的信息素。

	信息素增量不同	信息素更新时刻不同	信息素更新形式不同
蚁周模型	信息素增量为 $Q/L_k$ ,它只与搜索路线有关与具体的路径(i,j)无关	在第k只蚂蚁完成一次路径搜索后,对线路上所有路径进行信息素的更新	信息素增量与本次搜索的整体线路有关,因此属于全局信息更新
蚁量模型	信息素增量为 $Q/d_{ij}$ ,与路径(i,j)的长度有关	在蚁群前进过程中进行，蚂蚁每完成一步移动后更新该路径上的信息素	利用蚂蚁所走路径上的信息进行更新,因此属于局部信息更新
蚁密模型	信息素增量为固定值Q	在蚁群前进过程中进行，蚂蚁每完成一步移动后更新该路径上的信息素	利用蚂蚁所走路径上的信息进行更新,因此属于局部信息更新

蚁周模型的 $\Delta \tau_{i j}^{k}$ 计算公式如下
$\tag{5} \Delta \tau_{i j}^{k}= \begin{cases}Q / L_{k}, & \text { 第 } \mathrm{k} \text { 只蚂蚁从城市 } \mathrm{i} \text { 访问城市 } \mathrm{j} \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
式中 $Q$ 为信息素常数（一个正的常数），表示蚂蚁循环一次所释放的信息素总量。 $L_{k}$ 为第k只蚂蚁经过路径的总长度。

4. 算法步骤

对相关参数进行初始化，如蚁群规模（蚂蚁数量） $m$ 、信息素重要程度因子 $\alpha$ 、启发函数重要程度因子 $\beta$ 、信息素挥发因子 $\rho$ 、信息素常数 $Q$ 、最大迭代次数 $i t e r m a x$ 。
构建解空间，将各个蚂蚁随机地置于不同的出发点，为每只蚂蚁确定当前候选道路集
更新信息素计算每个蚂蚁经过路径长度 $L_k(k=1,2,…，m)$ ，记录当前迭代次数中的最优解（最短路径）。同时，对各个节点连接路径上信息素浓度进行更新。
判断是否终止若 $i t e r < i t e r m a x$ ，则令 $i t e r = i t e r + 1$ ，清空蚂蚁经过路径的记录表，并返回步骤2；否则，终止计算，输出最优解。

5. python实现

使用蚁群算法解决旅行商问题（TSP），代码来自博客。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


# 城市坐标(52个城市)
coordinates = np.array([[565.0,575.0],[25.0,185.0],[345.0,750.0],[945.0,685.0],[845.0,655.0],
            [880.0,660.0],[25.0,230.0],[525.0,1000.0],[580.0,1175.0],[650.0,1130.0],
            [1605.0,620.0],[1220.0,580.0],[1465.0,200.0],[1530.0,  5.0],[845.0,680.0],
            [725.0,370.0],[145.0,665.0],[415.0,635.0],[510.0,875.0],[560.0,365.0],
            [300.0,465.0],[520.0,585.0],[480.0,415.0],[835.0,625.0],[975.0,580.0],
            [1215.0,245.0],[1320.0,315.0],[1250.0,400.0],[660.0,180.0],[410.0,250.0],
            [420.0,555.0],[575.0,665.0],[1150.0,1160.0],[700.0,580.0],[685.0,595.0],
            [685.0,610.0],[770.0,610.0],[795.0,645.0],[720.0,635.0],[760.0,650.0],
            [475.0,960.0],[95.0,260.0],[875.0,920.0],[700.0,500.0],[555.0,815.0],
            [830.0,485.0],[1170.0, 65.0],[830.0,610.0],[605.0,625.0],[595.0,360.0],
            [1340.0,725.0],[1740.0,245.0]])

def getdistmat(coordinates):
    num = coordinates.shape[0]
    distmat = np.zeros((52, 52))
    for i in range(num):
        for j in range(i, num):
            distmat[i][j] = distmat[j][i] = np.linalg.norm(
                coordinates[i] - coordinates[j])
    return distmat


# #//初始化
distmat = getdistmat(coordinates)
numant = 45 ##// 蚂蚁个数
numcity = coordinates.shape[0] ##// 城市个数
alpha = 1 ##// 信息素重要程度因子
beta = 5 ##// 启发函数重要程度因子
rho = 0.1 ##// 信息素的挥发速度
Q = 1 ##//信息素释放总量
iter = 0##//循环次数
itermax = 200#//循环最大值
etatable = 1.0 / (distmat + np.diag([1e10] * numcity)) #// 启发函数矩阵，表示蚂蚁从城市i转移到矩阵j的期望程度
pheromonetable = np.ones((numcity, numcity)) #// 信息素矩阵
pathtable = np.zeros((numant, numcity)).astype(int) #// 路径记录表
distmat = getdistmat(coordinates) #// 城市的距离矩阵
lengthaver = np.zeros(itermax) #// 各代路径的平均长度
lengthbest = np.zeros(itermax) #// 各代及其之前遇到的最佳路径长度
pathbest = np.zeros((itermax, numcity)) #// 各代及其之前遇到的最佳路径长度
#//核心点-循环迭代
while iter < itermax:
    #// 随机产生各个蚂蚁的起点城市
    if numant <= numcity:
        #// 城市数比蚂蚁数多
        pathtable[:, 0] = np.random.permutation(range(0, numcity))[:numant]
    else:
        #// 蚂蚁数比城市数多，需要补足
        pathtable[:numcity, 0] = np.random.permutation(range(0, numcity))[:]
        pathtable[numcity:, 0] = np.random.permutation(range(0, numcity))[
            :numant - numcity]
    length = np.zeros(numant)  # 计算各个蚂蚁的路径距离
    for i in range(numant):
        visiting = pathtable[i, 0]  # 当前所在的城市
        unvisited = set(range(numcity))  # 未访问的城市,以集合的形式存储{}
        unvisited.remove(visiting)  # 删除元素；利用集合的remove方法删除存储的数据内容
        for j in range(1, numcity):  # 循环numcity-1次，访问剩余的numcity-1个城市
            # 每次用轮盘法选择下一个要访问的城市
            listunvisited = list(unvisited)
            probtrans = np.zeros(len(listunvisited))
            for k in range(len(listunvisited)):
                probtrans[k] = np.power(pheromonetable[visiting][listunvisited[k]], alpha) \
                    * np.power(etatable[visiting][listunvisited[k]], beta)
            cumsumprobtrans = (probtrans / sum(probtrans)).cumsum()
            cumsumprobtrans -= np.random.rand()
            k = listunvisited[(np.where(cumsumprobtrans > 0)[0])[0]]
            # 元素的提取（也就是下一轮选的城市）
            pathtable[i, j] = k  # 添加到路径表中（也就是蚂蚁走过的路径)
            unvisited.remove(k)  # 然后在为访问城市set中remove（）删除掉该城市
            length[i] += distmat[visiting][k]
            visiting = k
        # 蚂蚁的路径距离包括最后一个城市和第一个城市的距离
        length[i] += distmat[visiting][pathtable[i, 0]]
        # 包含所有蚂蚁的一个迭代结束后，统计本次迭代的若干统计参数
    lengthaver[iter] = length.mean()
    if iter == 0:
        lengthbest[iter] = length.min()
        pathbest[iter] = pathtable[length.argmin()].copy()
    else:
        if length.min() > lengthbest[iter - 1]:
            lengthbest[iter] = lengthbest[iter - 1]
            pathbest[iter] = pathbest[iter - 1].copy()
        else:
            lengthbest[iter] = length.min()
            pathbest[iter] = pathtable[length.argmin()].copy()
    # 更新信息素
    changepheromonetable = np.zeros((numcity, numcity))
    for i in range(numant):
        for j in range(numcity - 1):
            changepheromonetable[pathtable[i, j]][pathtable[i, j + 1]] += Q / distmat[pathtable[i, j]][
                pathtable[i, j + 1]]  # 计算信息素增量
        changepheromonetable[pathtable[i, j + 1]][pathtable[i, 0]] += Q / distmat[pathtable[i, j + 1]][pathtable[i, 0]]
    pheromonetable = (1 - rho) * pheromonetable + \
        changepheromonetable  # 计算信息素公式
    if iter%30==0:
        print("iter(迭代次数):", iter)
    iter += 1  # 迭代次数指示器+1

# 做出平均路径长度和最优路径长度
fig, axes = plt.subplots(nrows=2, ncols=1, figsize=(12, 10))
axes[0].plot(lengthaver, 'k', marker=u'')
axes[0].set_title('Average Length')
axes[0].set_xlabel(u'iteration')

axes[1].plot(lengthbest, 'k', marker=u'')
axes[1].set_title('Best Length')
axes[1].set_xlabel(u'iteration')
fig.savefig('average_best.png', dpi=500, bbox_inches='tight')
plt.show()

# 作出找到的最优路径图
bestpath = pathbest[-1]
plt.plot(coordinates[:, 0], coordinates[:, 1], 'r.', marker=u'$\cdot$')
plt.xlim([-100, 2000])
plt.ylim([-100, 1500])

for i in range(numcity - 1):
    m = int(bestpath[i])
    n = int(bestpath[i + 1])
    plt.plot([coordinates[m][0], coordinates[n][0]], [
             coordinates[m][1], coordinates[n][1]], 'k')
plt.plot([coordinates[int(bestpath[0])][0], coordinates[int(n)][0]],
         [coordinates[int(bestpath[0])][1], coordinates[int(n)][1]], 'b')
ax = plt.gca()
ax.set_title("Best Path")
ax.set_xlabel('X axis')
ax.set_ylabel('Y_axis')

plt.savefig('best path.png', dpi=500, bbox_inches='tight')
plt.show()