数据结构与算法十一 图的入门

news2025/3/1 2:21:20

一 图的入门

1.1 图的实际应用

在现实生活中，有许多应用场景会包含很多点以及点点之间的连接，而这些应用场景我们都可以用即将要学习的图这种数据结构去解决。

地图：
我们生活中经常使用的地图，基本上是由城市以及连接城市的道路组成，如果我们把城市看做是一个一个的点，把道路看做是一条一条的连接，那么地图就是我们将要学习的图这种数据结构。

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电路图：
下面是一个我们生活中经常见到的集成电路板，它其实就是由一个一个触点组成，并把触点与触点之间通过线进行连接，这也是我们即将要学习的图这种数据结构的应用场景
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1.2 图的定义及分类

定义：图是由一组顶点和一组能够将两个顶点相连的边组成的
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特殊的图：

  1. 自环：即一条连接一个顶点和其自身的边；
  2. 平行边：连接同一对顶点的两条边；

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图的分类：
按照连接两个顶点的边的不同，可以把图分为以下两种：
无向图：边仅仅连接两个顶点，没有其他含义；
有向图：边不仅连接两个顶点，并且具有方向；

1.3 无向图

1.3.1 图的相关术语

相邻顶点：
当两个顶点通过一条边相连时，我们称这两个顶点是相邻的，并且称这条边依附于这两个顶点。

度：
某个顶点的度就是依附于该顶点的边的个数

子图：
是一幅图的所有边的子集(包含这些边依附的顶点)组成的图；

路径：
是由边顺序连接的一系列的顶点组成

环：
是一条至少含有一条边且终点和起点相同的路径

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连通图：
如果图中任意一个顶点都存在一条路径到达另外一个顶点，那么这幅图就称之为连通图

连通子图：
一个非连通图由若干连通的部分组成，每一个连通的部分都可以称为该图的连通子图
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1.3.2 图的存储结构

要表示一幅图，只需要表示清楚以下两部分内容即可：

  1. 图中所有的顶点；
  2. 所有连接顶点的边；

常见的图的存储结构有两种：邻接矩阵和邻接表

1.3.2.1 邻接矩阵

  1. 使用一个V*V的二维数组int[V][V] adj,把索引的值看做是顶点；
  2. 如果顶点v和顶点w相连，我们只需要将adj[v][w]和adj[w][v]的值设置为1,否则设置为0即可。

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很明显，邻接矩阵这种存储方式的空间复杂度是V^2的，如果我们处理的问题规模比较大的话，内存空间极有可能不够用。

1.3.2.2 邻接表

  1. 使用一个大小为V的数组 Queue[V] adj，把索引看做是顶点；
  2. 每个索引处adj[v]存储了一个队列，该队列中存储的是所有与该顶点相邻的其他顶点

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很明显，邻接表的空间并不是是线性级别的，所以后面我们一直采用邻接表这种存储形式来表示图。

1.3.3 图的实现

1.3.3.1 图的API设计

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1.3.3.2 代码实现

public class Graph {
	//顶点数目
	private final int V;
	//边的数目
	private int E;
	//邻接表
	private Queue<Integer>[] adj;
	public Graph(int V){
		//初始化顶点数量
		this.V = V;
		//初始化边的数量
		this.E=0;
		//初始化邻接表
		this.adj = new Queue[V];
		//初始化邻接表中的空队列
		for (int i = 0; i < adj.length; i++) {
			adj[i] = new Queue<Integer>();
		}
	}
	//获取顶点数目
	public int V(){
		return V;
	}
	//获取边的数目
	public int E(){
		return E;
	}
	//向图中添加一条边 v-w
	public void addEdge(int v, int w) {
		//把w添加到v的链表中，这样顶点v就多了一个相邻点w
		adj[v].enqueue(w);
		//把v添加到w的链表中，这样顶点w就多了一个相邻点v
		adj[w].enqueue(v);
		//边的数目自增1
		E++;
	}
	//获取和顶点v相邻的所有顶点
	public Queue<Integer> adj(int v){
		return adj[v];
	}
}

1.3.4 图的搜索

在很多情况下，我们需要遍历图，得到图的一些性质，例如，找出图中与指定的顶点相连的所有顶点，或者判定某个顶点与指定顶点是否相通，是非常常见的需求。

有关图的搜索，最经典的算法有深度优先搜索和广度优先搜索，接下来我们分别讲解这两种搜索算法。

1.3.4.1 深度优先搜索

所谓的深度优先搜索，指的是在搜索时，如果遇到一个结点既有子结点，又有兄弟结点，那么先找子结点，然后找兄弟结点
在这里插入图片描述

很明显，在由于边是没有方向的，所以，如果4和5顶点相连，那么4会出现在5的相邻链表中，5也会出现在4的相邻链表中，那么为了不对顶点进行重复搜索，应该要有相应的标记来表示当前顶点有没有搜索过，可以使用一个布尔类型的数组 boolean[V] marked,索引代表顶点，值代表当前顶点是否已经搜索，如果已经搜索，标记为true，如果没有搜索，标记为false；

API设计：

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代码：

public class DepthFirstSearch {
	//索引代表顶点，值表示当前顶点是否已经被搜索
	private boolean[] marked;
	//记录有多少个顶点与s顶点相通
	private int count;
	//构造深度优先搜索对象，使用深度优先搜索找出G图中s顶点的所有相邻顶点
	public DepthFirstSearch(Graph G,int s){
		//创建一个和图的顶点数一样大小的布尔数组
		marked = new boolean[G.V()];
		//搜索G图中与顶点s相同的所有顶点
		dfs(G,s);
	}
	//使用深度优先搜索找出G图中v顶点的所有相邻顶点
	private void dfs(Graph G, int v){
		//把当前顶点标记为已搜索
		marked[v]=true;
		//遍历v顶点的邻接表，得到每一个顶点w
		for (Integer w : G.adj(v)){
			//如果当前顶点w没有被搜索过，则递归搜索与w顶点相通的其他顶点
			if (!marked[w]){
				dfs(G,w);
			}
		}
	//相通的顶点数量+1
	count++;
	}
	//判断w顶点与s顶点是否相通
	public boolean marked(int w){
		return marked[w];
	}
	//获取与顶点s相通的所有顶点的总数
	public int count(){
		return count;
	}
}

1.3.4.2 广度优先搜索

所谓的深度优先搜索，指的是在搜索时，如果遇到一个结点既有子结点，又有兄弟结点，那么先找兄弟结点，然后找子结点。
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API设计：
在这里插入图片描述
代码：

public class BreadthFirstSearch {
	//索引代表顶点，值表示当前顶点是否已经被搜索
	private boolean[] marked;
	//记录有多少个顶点与s顶点相通
	private int count;
	//用来存储待搜索邻接表的点
	private Queue<Integer> waitSearch;
	//构造广度优先搜索对象，使用广度优先搜索找出G图中s顶点的所有相邻顶点
	public BreadthFirstSearch(Graph G, int s) {
		//创建一个和图的顶点数一样大小的布尔数组
		marked = new boolean[G.V()];
		//初始化待搜索顶点的队列
		waitSearch = new Queue<Integer>();
		//搜索G图中与顶点s相同的所有顶点
		dfs(G, s);
	}
	//使用广度优先搜索找出G图中v顶点的所有相邻顶点
	private void dfs(Graph G, int v) {
		//把当前顶点v标记为已搜索
		marked[v]=true;
		//把当前顶点v放入到队列中，等待搜索它的邻接表
		waitSearch.enqueue(v);
		//使用while循环从队列中拿出待搜索的顶点wait，进行搜索邻接表
		while(!waitSearch.isEmpty()){
			Integer wait = waitSearch.dequeue();
			//遍历wait顶点的邻接表，得到每一个顶点w
			for (Integer w : G.adj(wait)) {
				//如果当前顶点w没有被搜索过，则递归搜索与w顶点相通的其他顶点
				if (!marked[w]) {
					dfs(G, w);
				}
			}
		}
		//相通的顶点数量+1
		count++;
	}
	//判断w顶点与s顶点是否相通
	public boolean marked(int w) {
		return marked[w];
	}
	//获取与顶点s相通的所有顶点的总数
	public int count() {
		return count;
	}
}

1.3.5 案例-畅通工程续1

某省调查城镇交通状况，得到现有城镇道路统计表，表中列出了每条道路直接连通的城镇。省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个城镇间都可以实现交通（但不一定有直接的道路相连，只要互相间接通过道路可达即可）。目前的道路状况，9号城市和10号城市是否相通？9号城市和8号城市是否相通？

下面是对诚征道路统计表数据的解释：
在这里插入图片描述
总共有20个城市，目前已经修改好了7条道路，问9号城市和10号城市是否相通？9号城市和8号城市是否相通？
解题思路：

  1. 创建一个图Graph对象，表示城市；
  2. 分别调用
    addEdge(0,1),addEdge(6,9),addEdge(3,8),addEdge(5,11),addEdge(2,12),addEdge(6,10),addEdge(4,8)，表示已经修建好的道路把对应的城市连接起来；
  3. 通过Graph对象和顶点9，构建DepthFirstSearch对象或BreadthFirstSearch对象；
  4. 调用搜索对象的marked(10)方法和marked(8)方法，即可得到9和城市与10号城市以及9号城市与8号城市是否相通。

代码：

import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;
public class Traffic_Project2 {
	public static void main(String[] args) throws Exception {
	//创建输入流
	BufferedReader reader = new BufferedReader(new
	InputStreamReader(Traffic_Project2.class.getClassLoader().getResourceAsStream("traffic_proje
	ct.txt")));
	//读取城市数目，初始化Graph图
	int number = Integer.parseInt(reader.readLine());
	Graph G = new Graph(number);
	//读取已经修建好的道路数目
	int roadNumber = Integer.parseInt(reader.readLine());
	//循环读取已经修建好的道路，并调用addEdge方法
	for (int i = 0; i < roadNumber; i++) {
		String line = reader.readLine();
		int p = Integer.parseInt(line.split(" ")[0]);
		int q = Integer.parseInt(line.split(" ")[1]);
		G.addEdge(p, q);
	}
	//根据图G和顶点9构建图的搜索对象
	//BreadthFirstSearch search = new BreadthFirstSearch(G,9);
	DepthFirstSearch search = new DepthFirstSearch(G, 9);
	//调用搜索对象的marked(10)方法和marked(8)方法
	boolean flag1 = search.marked(10);
	boolean flag2 = search.marked(8);
	System.out.println("9号城市和10号城市是否已相通：" + flag1);
	System.out.println("9号城市和8号城市是否已相通：" + flag2);
	}
}

1.3.6 路径查找

在实际生活中，地图是我们经常使用的一种工具，通常我们会用它进行导航，输入一个出发城市，输入一个目的地城市，就可以把路线规划好，而在规划好的这个路线上，会路过很多中间的城市。这类问题翻译成专业问题就是：
从s顶点到v顶点是否存在一条路径？如果存在，请找出这条路径。

在这里插入图片描述
例如在上图上查找顶点0到顶点4的路径用红色标识出来,那么我们可以把该路径表示为 0-2-3-4。

1.3.6.1 路径查找API设计

在这里插入图片描述

1.3.6.2 路径查找实现

我们实现路径查找，最基本的操作还是得遍历并搜索图，所以，我们的实现暂且基于深度优先搜索来完成。其搜索的过程是比较简单的。我们添加了edgeTo[]整型数组，这个整型数组会记录从每个顶点回到起点s的路径。
如果我们把顶点设定为0，那么它的搜索可以表示为下图：
在这里插入图片描述
根据最终edgeTo的结果，我们很容易能够找到从起点0到任意顶点的路径；

代码

public class DepthFirstPaths {
	//索引代表顶点，值表示当前顶点是否已经被搜索
	private boolean[] marked;
	//起点
	private int s;
	//索引代表顶点，值代表从起点s到当前顶点路径上的最后一个顶点
	private int[] edgeTo;
	//构造深度优先搜索对象，使用深度优先搜索找出G图中起点为s的所有路径
	public DepthFirstPaths(Graph G, int s){
		//创建一个和图的顶点数一样大小的布尔数组
		marked = new boolean[G.V()];
		//创建一个和图顶点数一样大小的整型数组
		edgeTo = new int[G.V()];
		//初始化顶点
		this.s=s;
		//搜索G图中起点为s的所有路径
		dfs(G,s);
	}
	//使用深度优先搜索找出G图中v顶点的所有相邻顶点
	private void dfs(Graph G, int v){
		//把当前顶点标记为已搜索
		marked[v]=true;
		//遍历v顶点的邻接表，得到每一个顶点w
		for (Integer w : G.adj(v)){
			//如果当前顶点w没有被搜索过，则将edgeTo[w]设置为v,表示w的前一个顶点为v，并递归搜索与w顶
			点相通的其他顶点
			if (!marked[w]){
			edgeTo[w]=v;
			dfs(G,w);
			}
		}
	}
	//判断w顶点与s顶点是否存在路径
	public boolean hasPathTo(int v){
		return marked[v];
	}
	//找出从起点s到顶点v的路径(就是该路径经过的顶点)
	public Stack<Integer> pathTo(int v){
		//当前v顶点与s顶点不连通，所以直接返回null，没有路径
		if (!hasPathTo(v)){
			return null;
		}
		//创建路劲中经过的顶点的容器
		Stack<Integer> path = new Stack<Integer>();
		//第一次把当前顶点存进去，然后将x变换为到达当前顶点的前一个顶点edgeTo[x],在把前一个顶点存进去，继续将x变化为到达前一个顶点的前一个顶点，继续存，一直到x的值为s为止，相当于逆推法，最后把s放进去
		for (int x = v;x!=s;x=edgeTo[x]){
			//把当前顶点放入容器
			path.push(x);
		}
		//把起点s放入容器
		path.push(s);
		return path;
	}
}


//测试代码
public class DepthFirstPathsTest {
	public static void main(String[] args) throws Exception {
		//创建输入流
		BufferedReader reader = new BufferedReader(new
		InputStreamReader(DepthFirstPathsTest.class.getClassLoader().getResourceAsStream("road_find.
		txt")));
		//读取城市数目，初始化Graph图
		int number = Integer.parseInt(reader.readLine());
		Graph G = new Graph(number);
		//读取城市的连通道路
		int roadNumber = Integer.parseInt(reader.readLine());
		//循环读取道路，并调用addEdge方法
		for (int i = 0; i < roadNumber; i++) {
			String line = reader.readLine();
			int p = Integer.parseInt(line.split(" ")[0]);
			int q = Integer.parseInt(line.split(" ")[1]);
			G.addEdge(p, q);
		}
		//根据图G和顶点0路径查找对象
		DepthFirstPaths paths = new DepthFirstPaths(G, 0);
		//调用查找对象的pathTo(4)方法得到路径
		Stack<Integer> path = paths.pathTo(4);
		//遍历打印
		StringBuilder sb = new StringBuilder();
		for (Integer v : path) {
			sb.append(v+"-");
		}
		sb.deleteCharAt(sb.length()-1);
		System.out.println(sb);
	}
}

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