数据结构-查找-树形结构(二叉排序树、二叉平衡树、红黑树、B树、B+树)查找

news2025/1/22 18:30:11

一、二叉排序树(BST)

查询

插入

构造二叉排序树

*删除

*查找效率分析

二、二叉平衡树

*插入数据保持平衡

编辑

结

*查找效率分析

删除

三、红黑树

*插入

*删除

四、B树

*插入

*删除

五、B+树

一、二叉排序树(BST)

定义：二叉排序树(也称二叉查找树)或者是一颗空树，或者是具有下列特性的二叉树：

1）若左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于根的值

2）若右子树非空，则左右子树上所有结点的值均小于根的值

3）左右子树也分别是一颗二叉排序树

左子树值<根结点值<右子树值

type struct BSTNode{
    int key;
    struct BSTNode *lchild,*rchild;
}BSTNode,*BSTree;

查询

非递归方法

BSTNode *BST_Search(BSTree T,int key){
    while(T!=NULL && key!=t->key){
        if(key<T->key)
            T=T->lchild;            //小则左子树查找
        else
            T=T->rchild;            //大则右子树查找
    }
    return T;
}

递归方法实现

BSTNode *BSTSearch(BSTree T,int key){
    if(T==NULL)    return NULL;
    if(key == T->key)  
        return T;
    else if(key<T->key)
        BSTSearch(T->lchild,key);
    else
        BSTSearch(T->rchild,key);
}

插入

int BST_Insert(BSTree &T,int k){
    if(T==NULL){
        T=(BSTree)malloc(sizeof(NSTNode));
        T->key=k;
        T->lchild=T->rchild=NULL;
        return 1;                    //返回1，插入成功
    }else if(k==T->key){
        return 0;                    //返回0，已有，插入失败
    }else if(k<T->key)
        return BST_Insert(T->lchild);    //插入到T的左子树
    else
        retunr BST_Insert(T->rchild);    //插入到T的右子树
}

构造二叉排序树

不同的关系中序列顺序可能的到不同二叉排序树

void Creat_BST(BSTree &T,int str[],int n){
    T=NULL;
    int i=0;
    while(i<n){
        BST_Insert(T,str[i]);
        i++;
    }
}

*删除

①若被删除的z结点是叶结点，则直接删除，不会破坏二叉排序树的性质

②若z结点只有一颗左子树或者右子树，则让z的子树成为z的父结点的子树，替代z的位置

③若结点z有左右两课子树，则令z的直接后继(或者直接前驱)代替z，然后从二叉排序树中删除这个直接后继(或者直接前驱)，这样就转换成了第一或第二情况

*查找效率分析

查找成功：

成功=（第几层*每层成功结点树）累和/总成功结点数

$\tiny ASL=(1*1+2*2+3*4+4*4)/11=3$ (折半查找一样计算)

查找失败：

失败=（失败的层*每层数量）累和/总失败结点数(折半查找一样计算)

$\tiny ASL=(3*4+4*8)/12=11/3$

二、二叉平衡树

定义：二叉平衡树，简称平衡树(AVL树) ，树上任意一结点的左子树和右子树的高度之差不超过1

结点的平衡因子=左子树高-右子树高

typedef struct AVLNode{
    int key;                          //数据域
    int balance;                      //平衡因子
    struct AVLNode *lchild,*rchild;
}AVLNode,*AVLTree;

*插入数据保持平衡

LL

右单旋转：A的左孩子B向右上旋转代替A位置，将A右旋转成B的右孩子，而B原本的右孩子成A的左孩子

RR

右单旋转：A的右孩子B向左上旋转代替A位置，将A左旋转成B的左孩子，而B原本的左孩子成A的右孩子

LR

先左后右双旋转：先将A结点孩子左孩子B的右孩子C向左上旋转提升到B的位置，然后在把C向右上旋转提升的A的位置

RL

先右后左双旋转：先将A结点孩子右孩子B的左孩子C向右上旋转提升到B的位置，然后在把C向左上旋转提升的A的位置

结

*查找效率分析

假设以 $\tiny n_h$ 表示深度为h的平衡树中含有的最少结点数

则 $\tiny n_0=0,n_1=1,n_2=2$ ，并且有 $\tiny n_h=n_{h-1}+n_{h-2}+1$

依此类推 $\tiny n_3=4,n_4=7,n_5=12......$ , $\tiny n=9$ 的高度 $\tiny h_{max}=4$

最大深度为 $\tiny O(log_2n)$ ,平衡二叉树的平均查找长度为 $\tiny O(log_2n)$

文献

删除

二叉排序数删除一样找值替代删除的，然后旋转解决不平衡

旋转LL,RR,LR,RL操作上面一样

三、红黑树

是二叉排序树--->左子树结点 $\tiny \leq$ 根结点 $\tiny \leq$ 右子树结点

性质①：每个结点孩红色或黑色

②：根结点是黑色

③：叶结点(虚构的外部结点、NULL结点)都是黑色

④：不存在2个相邻的红结点

⑤：每个结点，从该结点到任意一叶结点的简单路径上，所包含黑结点相同

性质①：从根结点到叶结点的最长不大于最短路径的2倍

性质②：有n个内部结点的红黑树高度 $\tiny h<2log_2(n+1)$

*插入

左根右，根叶黑

不红红，黑路同

*删除

参考二叉排序树怎么删除的，然后破坏了红黑树性质，在根据插入那一套搞红黑树

四、B树

m叉树，任何结点至少 $\tiny \left \lceil m/2 \right \rceil$ 个分叉。即至少含有 $\tiny \left \lceil m/2 \right \rceil -1$ 个关键字

m叉树平衡树，所有子树高度相同，就是B树

若含n个关键字的m阶B树，最小高度，最大高度多少

每个最多结点(m-1)个关键字，第一层1给结点，第二层m个节点，第三层 $\tiny m^2$ 个.....第n层 $\tiny m^{n-1}$ 个

所以最小高度 $\tiny n\leqslant (m-1)(1+m+m^2+...+m^{n-1})=m^h-1$ ,因此 $\tiny h\geq log_m(n+1)$

最大高度第一层1，第二层2,第三层 $\tiny 2\left \lceil m/2 \right \rceil$ ...第h层 $\tiny 2(\left \lceil m/2 \right \rceil)^{h-2}$ ,第h+1层叶子节点， $\tiny 2(\left \lceil m/2 \right \rceil)^{h-1}$ 个，所以n个关键字的B树比有n+1个叶节点， $\tiny n+1\geqslant 2(\left \lceil m/2 \right \rceil)^{h-2}$ 即 $\tiny h\leq log_{\left \lceil m/2 \right \rceil}\frac{n+1}{2}+1$