2022年美国大学生数学建模竞赛
A题 自行车运动员的能量特征
原题再现：
背景
自行车公路赛有多种类型，包括标准赛、团体计时赛和个人计时赛。这些比赛的自行车运动员获胜的机会可能会有所不同，具体取决于赛事的类型、路线和自行车运动员的能力。在个人计时赛中，每个骑自行车的运动员都应该单独骑固定的路线，获胜者是在最少时间内完成骑行路线的自行车运动员。
单个自行车运动员可以在不同的时间长度内产生不同水平的能量输出，并且自行车运动员可以产生的能量和给定能量的持续时间在自行车运动员之间有很大的差异。自行车运动员的能量曲线表明自行车运动员可以产生给定能量的时间长短。换句话说，对于特定的时间长度，能量曲线提供了自行车运动员在给定时间内可以保持的最大能量。通常，自行车运动员产生的能量越多，自行车运动员在减少能量和恢复能量之前保持该能量的时间就越少。自行车运动员可能会选择暂时超过其能量曲线的限制，但自行车运动员随后需要额外的时间以较低的能量水平来恢复。此外，运动员之前的能量输出很重要，随着比赛的进行，运动员会越来越疲劳。
自行车运动员总是希望尽量减少行驶给定距离所需的时间。根据该自行车运动员的能量曲线，给定特定自行车运动员的能力，该自行车运动员在穿越给定的计时赛课程时应如何施加力量?此外，许多类型的自行车运动员可能会参加个人计时赛，例如计时赛运动员、爬坡运动员、冲刺运动员、全能型运动员或加速运动员，并且每种类型的自行车运动员都有不同的能量曲线。
要求
开发一个模型，该模型可以应用于任何类型的自行车运动员，以确定自行车运动员在赛道上的位置与自行车运动员施加的能量之间的关系。请记住，自行车运动员对在整个过程中可以消耗的总能量有限制，包括之前消耗和超过能量曲线积累的限制。
您的模型开发和报告应包括以下内容:
●定义两种类型的自行车运动员的能量曲线。您的–位自行车运动员应该是计时赛运动员，另一位是不同类型的自行车运动员。您还应该考虑不同性别自行车运动员的个人情况。.
●将您的模型应用于各种计时赛，如下列比赛，至少包括您在上面定义的自行车远动员能量特征。
o2021年日本东京奥运会计时赛。2021UCI世界锦标赛计时赛在比利时法兰德斯举行。
o至少–条您自己设计的路线，包括至少四个急转弯和至少一个重要的道路坡度。比赛的终点应该在起点附近。
●确定天气条件的潜在影响，包括风向和风力强度，以确定您的结果对天气和环境的微小差异的敏感程度。
●确定结果对自行车运动员偏离目标能量分布的敏感程度。自行车运动员不太可能遵循非常详细的计划而错过能量目标。自行车运动员和车队主管将对给定路线的关键部分的预期分段时间的可能范围有所了解。
●讨论如何扩展您的模型，以包括每个车队六名车手的团队计时赛的最佳能量使用，其中车队的时间由第四名车手越过终点线时确定。
作为解决方案的一部分， 为车队主管编写两页的远动员比赛指南。自行车运动员的比赛指导应侧重于一名自行车运动员和一次计时赛的结果。它应该包含自行车运动员方向的概述。它还应该包括对您的模型的广泛总结，但适合没有数学背景的指导员和自行车运动员。
整体求解过程概述(摘要)
正如数学博士安娜·基森霍夫（Anna Kiesenhofer）所说，适当的数学模型可以帮助骑自行车的人更好、更有效地计划他们的比赛。这正是我们在本文中所做的。
我们从自行车手的供能系统分析开始。根据基本的生物学知识，我们将总输出功率的贡献分为三种不同的供能系统：ATP-CP系统，糖酵解系统和有氧系统。我们的模型基于常微分方程来描述循环过程中人体中各种物质含量的变化。
根据我们的能量供应模型，我们定义了计时赛专家和短跑运动员的功率曲线，并考虑了不同的性别。我们的理论功率曲线和现实世界的功率曲线之间的比较意味着我们开发的能量模型的可靠性。值得注意的是，这里的功率曲线显示为中间结果。我们使用我们的能源模型进行进一步的讨论，这更重要和准确。
然后，为了评估保持给定速度所需的功率，我们分析了自行车自行车系统的运动。我们在模型中加入了不同的阻力、丘陵地形和急转弯。这里得到了一个运动方程来确定加速度和推进力之间的关系。
通过开发能量模型和运动模型，我们讨论了每种特征地形的最佳策略。研究发现，在大多数情况下，最佳策略是在整个比赛中保持固定的速度，阈值速度。例外情况是在丘陵路线或急转弯的道路上。骑自行车上坡或急转弯通常需要减速。因此，我们提出了一个可行的策略，即在每个特定地形上的最佳策略的组合。
为了在现实世界的条件下测试我们的模型，我们首先重建课程并通过处理官方路线图获得必要的数据。然后，我们模拟四种不同类型的自行车手在三条路线上的实际表现。模拟显示，2021年比利时UCI香槟赛的最佳时间是53.02分钟，非常接近冠军在该赛道上的57.78分钟。
我们评估偏离策略的敏感性，我们发现 30% 的偏差只给出了 3.11% 的时间差异。然后对于天气的敏感性，我们专注于风向和强度。分析表明，风极大地影响了所采用的策略和预期性能。
最后，我们修改了模型以包括团队计时赛，其中考虑牵伸效应以降低整体空气动力学阻力。我们提出了一种TTT策略，即骑自行车的人在冲刺阶段之前和冲刺阶段轮流拉动并修改自己。与个别情况相比，团队策略可以将速度提高 14.43%。
模型假设：
1.骑自行车的人和他们的自行车被认为是粒子。一条典型的奥林匹克时间步道路线，女子长约20公里，男子长约40公里。在如此宏大的规模上，骑自行车的人的规模可以忽略不计。
2.假设赛道的急转部分相对平坦，运动员在急转弯中保持匀速运动。出于安全考虑，组织者通常会选择一个相对平坦的区域进行急转弯。
3.同性别的自行车手体重相同，即男女的平均体重。虽然骑自行车的人的体重是影响问题结果的一个因素，但这不是我们需要探索的主要问题，所以可以忽略不计。
4.人体能量供应的生物过程以恒定的速度进行。事实上，人体能量供应的生物过程非常复杂，其速度受酶浓度等诸多因素的影响。很难给出数学表达式。通过这一假设，能源供应问题的分析在短时间内变得可行。
问题重述：
本文旨在建立一个适当的模型，为自行车手和Sportif总监提供最佳的比赛策略和可能的表现。
为任何类型的骑自行车者建立一个模型，以确定整个路线上的功率分布。换句话说，给定课程上的位置，模型应该建议应用的最佳功率。该模型应考虑骑自行车的人、天气和地形的功率曲线。
为两种类型和不同性别的骑行者定义功率配置文件。我们的个人资料应包括时间轨迹专家的个人资料。
将我们的模型应用于各种计时赛课程，包括 2021 年的两条真实世界课程和一个具有足够急转弯和爬坡的自行设计的课程。
灵敏度分析可能偏离最佳功率分配和天气和环境中的小差异。
扩展我们的TTT模型，骑自行车的人可以利用队友的优势，以获得更高的功率和更快的恢复。
模型的建立与求解整体论文缩略图
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程序代码：(代码和文档not free)
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint
def diff(y, x):
return np.array(1/x)
# 上面定义的函数在odeint里面体现的就是dy/dx =1/x
x = np.linspace(1, 10, 100) # 给出x范围，(起始，终值，分割段数)
y = odeint(diff, 0, x) # 设函数初值为0，即f(1)=0
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title("y=ln(x)")
plt.grid()#绘制网格
plt.plot(x, y) # 将x,y两个数组进行绘图
plt.show()#打印图表
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
g = 9.8
l = 1
#重力加速度为9.8m/s,摆长为1m
def diff(d_list, t):#我们可以将一个二阶常微分方程分解为含有两个方程的一阶常微分方程组
omega, theta = d_list
return np.array([-g/l*np.sin(theta), omega])
'''
深入剖析diff函数：diff的左边代表dω/dt和dθ/dt，由于函数返回的是数组类型，我们
可以用这种方式构建一个微分方程组：dθ/dt=ω,dω/dt=-gsin(θ)/l
'''
t = np.linspace(0, 10, 1000)
result = odeint(diff, [0, 30/180*np.pi], t)
# odeint中第二个是初始单摆角度30度，无法采用小角近似
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title("dθ/dt=ω,dω/dt=-gsin(θ)/l")
plt.plot(t, result) # 输出ω和θ随时变化曲线，即方程解
plt.show()
