（1）设A为方阵，则A与$A^T$有相同的特征值。

此处用到了两个关键性质，一：单位阵的转置为其本身,二：转置并不改变行列式的值。
（2）：
设n阶方阵A=（$a_{ij}$）的n个特征值为${\lambda }_1$,${\lambda }_2$,…${\lambda }_n$,则${\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3+...{\lambda }_n=a_{11}+a_{22}+a_{33}+...+a_{nn}$
(2)${\lambda }_1\ast {\lambda }_2\ast {\lambda }_3\ast {\lambda }_n=|A|$

该证明用到高中时期的多项式的乘法规律。更关键的是明白$\lambda$是$|\lambda \ast E-A|=0$的根

设A为n阶方阵，${\lambda }_1$,${\lambda }_2$,${\lambda }_3$,…,${\lambda }_m$为A的m个不同特征值，$a_1,a_2,a_3...a_m$分别为A的对应于${\lambda }_1$,${\lambda }_2$,${\lambda }_3$,…,${\lambda }_m$的特征向量，则$a_1,a_2,a_3...a_m$线性无关。
该证明采用数学归纳法
证明如下：
![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/deab00694c914b7b8cb831f851de2b2b.png】
先设只有一项，推出其线性无关，在利用数学归纳归纳法对多项时进行讨论。
(3) 设n阶方阵A的相异特征值为${\lambda }_1,{\lambda }_2,....{\lambda }_n$,对应于${\lambda }_i$的线性无关的特征向量为$a_{i1},a_{i2},a_{i3}...a_{im}$，则向量组$a_{i1},a_{i2},a_{i3}...a_{im}$线性无关。
用一句话说就是，无关的无关还是无关。
其推导过程与上式类似。

K重特征根对应的线性无关的特征向量的个数小于等于K