一、1049. 最后一块石头的重量 II

1.思路：01背包问题，其中dp[j]表示容量为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]。

2.注意：递推公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);本题中的重量就是价值，所以第二个stone[i]表示价值的意思； 遍历顺序上仍然是先物品后背包

3.本题与分割等和子集类似，不同就在于最后return时，本题得到的target = sum / 2 因为是向下取整，所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]。

所以相撞也就是将target与sum - dp[target]作差即可。

class Solution {
     public int lastStoneWeightII(int[] stones) {

        if (stones.length == 0 || stones == null)
            return 0;
        int sum = 0;
        // 先求出这堆石头的和，以便得到背包能背的最大重量
        for (int stone : stones) {
            sum += stone;
        }


        int target = sum >> 1;
        int[] dp = new int[target + 1];
        // for循环， 先物品再背包
        for (int i = 0; i < stones.length; i++) {
            // 这里的内循环一定是j >= stone[i] ，否则无法判断第二个max条件
            for (int j = target; j >= stones[i]; j--){
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        return sum - 2 * dp[target];
    }
}

二、完全背包

1.有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

2.核心代码：区别于01背包的一维滚动数组，差别就是内循环

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

3.计算过程

 3.518. 零钱兑换 II

1.思路：完全背包。

2.递推公式：dp[j] += dp[j - nums[i]]，表示填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法。

例如：dp[j]，j 为5，

• 已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。
• 已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。
• 已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]中方法 凑成 容量为5的背包
• 已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]中方法 凑成 容量为5的背包
• 已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]中方法 凑成 容量为5的背包

那么凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。

3.注意：该题纯完全背包是能凑成总和就行，不用管怎么凑的，不需要管顺序。

4.代码：

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {

        //    dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法
        int[] dp = new int[amount+1];
        //初始化dp数组，表示金额为0时只有一种情况，也就是什么都不装
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.length; i++) {   // 零钱的种类数
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++){  // 组合方法
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
}