目录

1. 石子游戏 Stone Game I

2. 石子游戏 Stone Game II

3. 石子游戏 Stone Game III

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1. 石子游戏 Stone Game I

Alice 和 Bob 用几堆石子在做游戏。一共有偶数堆石子，排成一行；每堆都有 正 整数颗石子，数目为 piles[i] 。

游戏以谁手中的石子最多来决出胜负。石子的 总数 是 奇数 ，所以没有平局。

Alice 和 Bob 轮流进行，Alice 先开始 。 每回合，玩家从行的 开始 或 结束 处取走整堆石头。 这种情况一直持续到没有更多的石子堆为止，此时手中 石子最多 的玩家 获胜 。

假设 Alice 和 Bob 都发挥出最佳水平，当 Alice 赢得比赛时返回 true ，当 Bob 赢得比赛时返回 false 。

示例 1：

输入：piles = [5,3,4,5]
输出：true
解释：
Alice 先开始，只能拿前 5 颗或后 5 颗石子 。
假设他取了前 5 颗，这一行就变成了 [3,4,5] 。
如果 Bob 拿走前 3 颗，那么剩下的是 [4,5]，Alice 拿走后 5 颗赢得 10 分。
如果 Bob 拿走后 5 颗，那么剩下的是 [3,4]，Alice 拿走后 4 颗赢得 9 分。
这表明，取前 5 颗石子对 Alice 来说是一个胜利的举动，所以返回 true 。

示例 2：

输入：piles = [3,7,2,3]
输出：true

提示：

• 2 <= piles.length <= 500
• piles.length 是 偶数
• 1 <= piles[i] <= 500
• sum(piles[i]) 是 奇数

代码：

from typing import List
class Solution:
    def stoneGame(self, piles: List[int]) -> bool:
        n = len(piles)
        dp = [[0] * n for _ in range(n)]
        for i in range(n):
            dp[i][i] = piles[i]

        for i in range(n - 2, -1, -1):
            for j in range(i + 1, n):
                dp[i][j] = max(piles[i] - dp[i+1][j], piles[j] - dp[i][j-1])

        return dp[0][n-1] > 0

# %%
s = Solution()
piles = [5,3,4,5]
print(s.stoneGame(piles))
piles = [3,7,2,3]
print(s.stoneGame(piles))

输出：

True
True

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2. 石子游戏 Stone Game II

爱丽丝和鲍勃继续他们的石子游戏。许多堆石子 排成一行，每堆都有正整数颗石子 piles[i]。游戏以谁手中的石子最多来决出胜负。

爱丽丝和鲍勃轮流进行，爱丽丝先开始。最初，M = 1。

在每个玩家的回合中，该玩家可以拿走剩下的 前 X 堆的所有石子，其中 1 <= X <= 2M。然后，令 M = max(M, X)。

游戏一直持续到所有石子都被拿走。

假设爱丽丝和鲍勃都发挥出最佳水平，返回爱丽丝可以得到的最大数量的石头。

示例 1：

输入：piles = [2,7,9,4,4]
输出：10
解释：如果一开始Alice取了一堆，Bob取了两堆，然后Alice再取两堆。爱丽丝可以得到2 + 4 + 4 = 10堆。如果Alice一开始拿走了两堆，那么Bob可以拿走剩下的三堆。在这种情况下，Alice得到2 + 7 = 9堆。返回10，因为它更大。

示例 2:

输入：piles = [1,2,3,4,5,100]
输出：104

提示：

• 1 <= piles.length <= 100
• 1 <= piles[i] <= 10^4

代码：

from typing import List
class Solution:
    def stoneGameII(self, piles: List[int]) -> int:
        n = len(piles)
        prefix = [0] * (n + 1)
        for i in range(n - 1, -1, -1):
            prefix[i] = prefix[i+1] + piles[i]
        
        def dfs(i: int, m: int) -> int:
            if i + 2*m >= n:
                return prefix[i]
            res = float("inf")
            for x in range(1, 2*m+1):
                res = min(res, dfs(i+x, max(m, x)))
            return prefix[i] - res
        
        return dfs(0, 1)

# %%
s = Solution()
piles = [2,7,9,4,4]
print(s.stoneGameII(piles))
piles = [1,2,3,4,5,100]
print(s.stoneGameII(piles))

from typing import List
class Solution:
    def stoneGameII(self, piles: List[int]) -> int:
        n = len(piles)
        prefix = [0] * (n + 1)
        for i in range(n - 1, -1, -1):
            prefix[i] = prefix[i+1] + piles[i]
        cache = {}

        def dfs(i: int, M: int) -> int:
            if (i, M) in cache:
                return cache[(i, M)]
            if i + 2*M >= n:
                return prefix[i]

            score = float("-inf")
            for x in range(1, 2*M+1):
                score = max(score, prefix[i] - dfs(i+x, max(M, x)))
            cache[(i, M)] = score
            return score

        return dfs(0, 1)

# %%
s = Solution()
piles = [2,7,9,4,4]
print(s.stoneGameII(piles))
piles = [1,2,3,4,5,100]
print(s.stoneGameII(piles))

输出：

10
104

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3. 石子游戏 Stone Game III

Alice 和 Bob 用几堆石子在做游戏。几堆石子排成一行，每堆石子都对应一个得分，由数组 stoneValue 给出。

Alice 和 Bob 轮流取石子，Alice 总是先开始。在每个玩家的回合中，该玩家可以拿走剩下石子中的的前 1、2 或 3 堆石子 。比赛一直持续到所有石头都被拿走。

每个玩家的最终得分为他所拿到的每堆石子的对应得分之和。每个玩家的初始分数都是 0 。比赛的目标是决出最高分，得分最高的选手将会赢得比赛，比赛也可能会出现平局。

假设 Alice 和 Bob 都采取 最优策略 。如果 Alice 赢了就返回 "Alice" ，Bob 赢了就返回 "Bob"，平局（分数相同）返回 "Tie" 。

示例 1：

输入：values = [1,2,3,7]
输出："Bob"
解释：Alice 总是会输，她的最佳选择是拿走前三堆，得分变成 6 。但是 Bob 的得分为 7，Bob 获胜。

示例 2：

输入：values = [1,2,3,-9]
输出："Alice"
解释：Alice 要想获胜就必须在第一个回合拿走前三堆石子，给 Bob 留下负分。
如果 Alice 只拿走第一堆，那么她的得分为 1，接下来 Bob 拿走第二、三堆，得分为 5 。之后 Alice 只能拿到分数 -9 的石子堆，输掉比赛。
如果 Alice 拿走前两堆，那么她的得分为 3，接下来 Bob 拿走第三堆，得分为 3 。之后 Alice 只能拿到分数 -9 的石子堆，同样会输掉比赛。
注意，他们都应该采取 最优策略 ，所以在这里 Alice 将选择能够使她获胜的方案。

示例 3：

输入：values = [1,2,3,6]
输出："Tie"
解释：Alice 无法赢得比赛。如果她决定选择前三堆，她可以以平局结束比赛，否则她就会输。

示例 4：

输入：values = [1,2,3,-1,-2,-3,7]
输出："Alice"

示例 5：

输入：values = [-1,-2,-3]
输出："Tie"

提示：

• 1 <= values.length <= 50000
• -1000 <= values[i] <= 1000

代码：

from typing import List
class Solution:
    def stoneGameIII(self, stoneValue: List[int]) -> str:
        n = len(stoneValue)
        dp = [0] * (n + 1)
        for i in range(n - 1, -1, -1):
            total = 0
            dp[i] = -float("inf")
            for j in range(i, min(n, i + 3)):
                total += stoneValue[j]
                dp[i] = max(dp[i], total - dp[j + 1])
        if dp[0] > 0:
            return "Alice"
        elif dp[0] < 0:
            return "Bob"
        else:
            return "Tie"

#%%
s = Solution()
values = [1,2,3,7]
print(s.stoneGameIII(values))
values = [1,2,3,-9]
print(s.stoneGameIII(values))
values = [1,2,3,6]
print(s.stoneGameIII(values))
values = [1,2,3,-1,-2,-3,7]
print(s.stoneGameIII(values))
values = [-1,-2,-3]
print(s.stoneGameIII(values))

输出：

Bob
Alice
Tie
Alice
Tie

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